В математике два ненулевых действительных числа a и b называются соизмеримыми, если их отношение а/б — рациональное число ; в противном случае a и b называются несоизмеримыми . (Напомним, что рациональное число — это число, эквивалентное отношению двух целых чисел .) В теории групп существует более общее понятие.
Например, числа 3 и 2 соизмеримы, потому что их отношение, 3/2 , является рациональным числом. Числа и также соизмеримы, поскольку их отношение, , является рациональным числом. Однако числа и 2 несоизмеримы, поскольку их отношение, , является иррациональным числом .
В более общем смысле, из определения сразу следует, что если a и b — любые два ненулевых рациональных числа, то a и b соизмеримы; также сразу следует, что если a — любое иррациональное число, а b — любое ненулевое рациональное число, то a и b несоизмеримы. С другой стороны, если и a, и b — иррациональные числа, то a и b могут быть соизмеримы, а могут и не быть.
Пифагорейцам приписывают доказательство существования иррациональных чисел . [1] [2] Когда отношение длин двух отрезков иррационально, сами отрезки (а не только их длины) также описываются как несоизмеримые.
Отдельная, более общая и окольная древнегреческая доктрина пропорциональности геометрической величины была разработана в пятой книге « Начал » Евклида с целью сделать возможными доказательства, включающие несоизмеримые длины, тем самым избегая аргументов, которые применялись только к исторически ограниченному определению числа .
Понятие Евклида о соизмеримости предвосхищается мимоходом в дискуссии между Сократом и мальчиком-рабом в диалоге Платона под названием «Менон» , в котором Сократ использует собственные врожденные способности мальчика для решения сложной геометрической задачи с помощью сократовского метода. Он разрабатывает доказательство, которое, по всем намерениям и целям, является очень евклидовым по своей природе и говорит о концепции несоизмеримости. [3]
Использование в основном происходит из переводов « Начал » Евклида , в которых два отрезка a и b называются соизмеримыми в точности тогда, когда существует некоторый третий отрезок c , который можно положить один за другим целое число раз, чтобы получить отрезок, конгруэнтный a , а также, с другим целым числом, отрезок, конгруэнтный b . Евклид не использовал никакого понятия действительного числа, но он использовал понятие конгруэнтности отрезков и того, что один такой отрезок длиннее или короче другого.
Это а/б рациональность является необходимым и достаточным условием для существования некоторого действительного числа c и целых чисел m и n , таких что
Предположив для простоты, что a и b положительны , можно сказать, что линейка , размеченная в единицах длины c , может быть использована для измерения как отрезка линии длиной a , так и отрезка длиной b . То есть, существует общая единица длины , в терминах которой a и b могут быть измерены; отсюда и происходит этот термин. В противном случае пара a и b несоизмерима .
В теории групп две подгруппы Γ 1 и Γ 2 группы G называются соизмеримыми , если пересечение Γ 1 ∩ Γ 2 имеет конечный индекс как в Γ 1 , так и в Γ 2 .
Пример: Пусть a и b — ненулевые действительные числа. Тогда подгруппа действительных чисел R , порождённая a, соизмерима с подгруппой, порождённой b , тогда и только тогда, когда действительные числа a и b соизмеримы, в том смысле, что a / b рационально. Таким образом, теоретико-групповое понятие соизмеримости обобщает концепцию для действительных чисел.
Аналогичное понятие существует для двух групп, которые не заданы как подгруппы одной и той же группы. Две группы G 1 и G 2 ( абстрактно ) соизмеримы, если существуют подгруппы H 1 ⊂ G 1 и H 2 ⊂ G 2 конечного индекса, такие, что H 1 изоморфна H 2 .
Два линейно-связных топологических пространства иногда называются соизмеримыми , если они имеют гомеоморфные конечнолистные накрывающие пространства . В зависимости от типа рассматриваемого пространства, может возникнуть необходимость использовать гомотопические эквивалентности или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов в определении. Если два пространства соизмеримы, то их фундаментальные группы соизмеримы.
Пример: любые две замкнутые поверхности рода не менее 2 соизмеримы друг с другом.
