Неприводимый элемент

В алгебре элемент без нетривиальных множителей

В алгебре неприводимый элемент области целостности — это ненулевой элемент, который не является обратимым (то есть не является единицей ) и не является произведением двух необратимых элементов.

Неприводимые элементы являются конечными элементами процесса факторизации ; то есть это факторы, которые не могут быть далее факторизованы. Неприводимые факторы элемента определяются однозначно, с точностью до умножения на единицу, если область целостности является уникальной областью факторизации . В XIX веке было обнаружено, что кольца целых чисел некоторых числовых полей не являются уникальными областями факторизации и, следовательно, некоторые неприводимые элементы могут появляться при одной факторизации элемента, а не в других факторизациях того же элемента. Незнание этого факта является основной ошибкой во многих неправильных доказательствах Великой теоремы Ферма , которые были даны в течение трех столетий между утверждением Ферма и доказательством Уайлса Великой теоремы Ферма .

Если является областью целостности, то является неприводимым элементом тогда и только тогда, когда для всех уравнение подразумевает, что идеал, порожденный , равен идеалу, порожденному или равен идеалу, порожденному . Эта эквивалентность не выполняется для общих коммутативных колец, поэтому при определении неприводимых элементов обычно делается предположение о том, что кольцо не имеет ненулевых делителей нуля. Это также приводит к тому, что существует несколько способов распространить определение неприводимого элемента на произвольное коммутативное кольцо . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b,c\in R}$ ${\displaystyle a=bc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Связь с простыми элементами

Неприводимые элементы не следует путать с простыми элементами . (Ненулевой неединичный элемент в коммутативном кольце называется простым, если для некоторых и в то или ) В области целостности каждый простой элемент неприводим, ^{[a] [2]} , но обратное неверно в общий. Обратное верно для уникальных областей факторизации ^[2] (или, в более общем смысле, областей НОД ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\mid bc}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

Более того, хотя идеал, порожденный простым элементом, является простым идеалом , в общем случае неверно, что идеал, порожденный неприводимым элементом, является неприводимым идеалом . Однако, если является областью НОД и является неприводимым элементом , то, как отмечалось выше, является простым, и поэтому идеал, порожденный, является простым (следовательно, неприводимым) идеалом . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

Пример

В квадратичном целочисленном кольце с помощью нормальных аргументов можно показать , что число 3 неприводимо. Однако он не является простым элементом в этом кольце, поскольку, например, ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

но 3 не делит ни один из двух множителей. ^[3]

Смотрите также

• Неприводимый полином

Примечания

1. Рассмотрим простой элемент и предположим, что Тогда или Скажем, тогда у нас есть Потому что это область целостности, которую мы имеем. Итак , это единица и она неприводима. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p=ab.}$ ${\displaystyle p\mid ab\Rightarrow p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$ ${\displaystyle p\mid a\Rightarrow a=pc,}$ ${\displaystyle p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle cb=1.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Рекомендации

1. Андерсон, Д.Д.; Вальдес-Леон, Сильвия (1 июня 1996 г.). «Факторизация в коммутативных кольцах с делителями нуля». Математический журнал Роки Маунтин . 26 (2): 439–480. дои : 10.1216/rmjm/1181072068 . ISSN  0035-7596.
2. Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . п. 54. ИСБН 0-521-33718-6. Збл  0674.13008.
3. Уильям В. Адамс и Ларри Джоэл Гольдштейн (1976), Введение в теорию чисел , стр. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9