Линейная стабильность

В математике, в теории дифференциальных уравнений и динамических систем , то или иное стационарное или квазистационарное решение нелинейной системы называется линейно неустойчивым, если линеаризация уравнения на этом решении имеет вид , где r — возмущение к установившемуся состоянию, A — линейный оператор , спектр которого содержит собственные значения с положительной вещественной частью. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то решение называется линейно устойчивым . Другие названия линейной устойчивости включают экспоненциальную устойчивость или устойчивость в первом приближении . ^{[1] [2]} Если существует собственное значение с нулевой вещественной частью, то вопрос об устойчивости не может быть решен на основе первого приближения, и мы приближаемся к так называемой «проблеме центра и фокуса». ^[3] ${\displaystyle dr/dt=Ar}$

Примеры

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x-x^{2}}$$

xxxA ₀x ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$ ${\displaystyle \lambda =1}$

Чтобы получить линеаризацию при x = 1 , пишут , где r = x − 1 . Линеаризованное уравнение тогда ; линеаризованный оператор равен A ₁ = −1 , единственное собственное значение равно , следовательно, эта стационарная точка линейно устойчива. ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$ ${\displaystyle \lambda =-1}$

Нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шрёдингера

$${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$

u ( x , t ) ∈ Ck > 0уединенные волновые решения^[4] ${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle r(x,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$

$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$

операторыкритерию устойчивости Вахитова–Колоколова^]k > 2A0 < k ≤ 2A

Следует отметить, что линейная стабильность не означает автоматически стабильность; в частности, при k = 2 уединенные волны неустойчивы. С другой стороны, при 0 < k < 2 уединенные волны не только линейно устойчивы, но и орбитально устойчивы . ^[6]

Смотрите также

• Асимптотическая устойчивость
• Линеаризация (анализ устойчивости)
• Ляпуновская устойчивость
• Орбитальная стабильность
• Теория стабильности
• Критерий устойчивости Вахитова–Колоколова.

Рекомендации

1. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. MIT Press, Кембридж, Массачусетс (1973)
2. П. Глендиннинг, Стабильность, нестабильность и хаос: введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Издательство Кембриджского университета, 1994.
3. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, "Качественная теория дифференциальных уравнений", Princeton Univ. Пресс (1960)
4. Х. Берестицкий и П.-Л. Львы (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля. I. Существование основного состояния». Арх. Рациональный механизм. Анал . 82 (4): 313–345. Бибкод : 1983ArRMA..82..313B. дои : 10.1007/BF00250555. S2CID  123081616.
5. Н. Г. Вахитов и А. А. Колоколов (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Радиофиз. Квантовый электрон . 16 (7): 783–789. Бибкод : 1973R&QE...16..783В. дои : 10.1007/BF01031343. S2CID  123386885.
6. Манусос Гриллакис, Джалал Шатах и ​​Вальтер Штраус (1987). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии. I». Дж. Функц. Анал . 74 : 160–197. дои : 10.1016/0022-1236(87)90044-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )