Линейная устойчивость

В математике, в теории дифференциальных уравнений и динамических систем , конкретное стационарное или квазистационарное решение нелинейной системы называется линейно неустойчивым, если линеаризация уравнения при этом решении имеет вид , где r — возмущение стационарного состояния, A — линейный оператор , спектр которого содержит собственные значения с положительной действительной частью. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то решение называется линейно устойчивым . Другие названия линейной устойчивости включают экспоненциальную устойчивость или устойчивость в терминах первого приближения . ^{[1] [2]} Если существует собственное значение с нулевой действительной частью, то вопрос об устойчивости не может быть решен на основе первого приближения, и мы приходим к так называемой «проблеме центра и фокуса». ^[3] ${\displaystyle dr/dt=Ar}$

Примеры

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение имеет два стационарных (не зависящих от времени) решения: x  = 0 и x  = 1. Линеаризация при x  = 0 имеет вид . Линеаризованный оператор — A ₀  = 1. Единственное собственное значение — . Решения этого уравнения растут экспоненциально; стационарная точка x  = 0 линейно неустойчива. $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x-x^{2}}$$ ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$ ${\displaystyle \lambda =1}$

Чтобы вывести линеаризацию при x = 1 , записывают , где r = x − 1. Тогда линеаризованное уравнение имеет вид ; линеаризованный оператор имеет вид A ₁ = −1 , единственным собственным значением является , следовательно, эта стационарная точка линейно устойчива. ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$ ${\displaystyle \lambda =-1}$

Нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шредингера , где u ( x , t ) ∈ C и k > 0 , имеет уединенные волновые решения вида . ^[4] Для вывода линеаризации при уединенной волне рассматривается решение в виде . Линеаризованное уравнение на задается выражением , где с и дифференциальными операторами . Согласно критерию устойчивости Вахитова–Колоколова [ ^5] при k > 2 спектр A имеет положительные точечные собственные значения, так что линеаризованное уравнение линейно (экспоненциально) неустойчиво; при 0 < k ≤ 2 спектр A является чисто мнимым, так что соответствующие уединенные волны линейно устойчивы. $${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$ ${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle r(x,t)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$ $${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$

Следует отметить, что линейная устойчивость не означает автоматически устойчивость; в частности, когда k = 2 , уединенные волны неустойчивы. С другой стороны, при 0 < k < 2 уединенные волны не только линейно устойчивы, но и орбитально устойчивы . ^[6]

Смотрите также

• Асимптотическая устойчивость
• Линеаризация (анализ устойчивости)
• устойчивость по Ляпунову
• Орбитальная устойчивость
• Теория устойчивости
• Критерий устойчивости Вахитова–Колоколова.

Ссылки

1. VI Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. MIT Press, Кембридж, Массачусетс (1973)
2. П. Глендиннинг, Устойчивость, неустойчивость и хаос: введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Cambridge University Press, 1994.
3. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, "Качественная теория дифференциальных уравнений", Princeton Univ. Press (1960)
4. Х. Берестицкий и П.-Л. Лионс (1983). "Уравнения нелинейного скалярного поля. I. Существование основного состояния". Arch. Rational Mech. Anal . 82 (4): 313–345. Bibcode :1983ArRMA..82..313B. doi :10.1007/BF00250555. S2CID  123081616.
5. Н. Г. Вахитов и А. А. Колоколов (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Radiophys. Quantum Electron . 16 (7): 783–789. Bibcode :1973R&QE...16..783V. doi :10.1007/BF01031343. S2CID  123386885.
6. Манусос Гриллакис, Джалал Шатах и ​​Вальтер Штраус (1987). "Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии. I". J. Funct. Anal . 74 : 160–197. doi : 10.1016/0022-1236(87)90044-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )