Неустойчивость Плато–Рэлея

Разрушение падающей струи жидкости

Три примера отрыва капель для различных жидкостей: (слева) вода, (в центре) глицерин, (справа) раствор ПЭГ в воде

В гидродинамике неустойчивость Плато –Рэлея , часто называемая просто неустойчивостью Рэлея , объясняет, почему и как падающий поток жидкости распадается на более мелкие пакеты с тем же общим объемом, но меньшей площадью поверхности на каплю. Она связана с неустойчивостью Рэлея–Тейлора и является частью более обширной ветви гидродинамики, связанной с разрывом нитей жидкости . Эта неустойчивость жидкости используется при проектировании определенного типа технологии струйной печати , в которой струя жидкости преобразуется в устойчивый поток капель .

Движущей силой неустойчивости Плато–Рэлея является то, что жидкости, в силу своего поверхностного натяжения , стремятся минимизировать свою площадь поверхности. Значительный объем работы был недавно проделан по окончательному профилю пинчинга путем атаки на него с помощью самоподобных решений. ^{[1] [2]}

История

Неустойчивость Плато–Рэлея названа в честь Джозефа Плато и лорда Рэлея . В 1873 году Плато экспериментально обнаружил, что вертикально падающий поток воды распадается на капли, если его длина больше, чем примерно в 3,13–3,18 раза больше его диаметра, что, как он отметил, близко к π . ^{[3] [4]} Позднее Рэлей теоретически показал, что вертикально падающий столб невязкой жидкости с круглым поперечным сечением должен распадаться на капли, если его длина превышает его окружность, которая действительно в π раз больше его диаметра. ^[5]

Теория

Промежуточная стадия распада струи на капли. Показаны радиусы кривизны в осевом направлении. Уравнение для радиуса струи имеет вид , где — радиус невозмущенной струи, — амплитуда возмущения, — расстояние вдоль оси струи, — волновое число. ${\displaystyle R(z)=R_{0}+A_{k}\cos(kz)}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle \scriptstyle z}$ ${\displaystyle k}$

Объяснение этой нестабильности начинается с существования крошечных возмущений в потоке. ^{[6] [7]} Они всегда присутствуют, независимо от того, насколько гладким является поток (например, в сопле струи жидкости в потоке жидкости возникает вибрация из-за трения между соплом и потоком жидкости). Если возмущения разложить на синусоидальные компоненты, мы обнаружим, что некоторые компоненты растут со временем, а другие затухают со временем. Среди тех, которые растут со временем, некоторые растут быстрее, чем другие. Затухает или растет компонент, и насколько быстро он растет, полностью зависит от его волнового числа (меры того, сколько пиков и впадин на единицу длины) и радиуса исходного цилиндрического потока. Диаграмма справа показывает преувеличение одного компонента.

Предполагая, что все возможные компоненты изначально существуют в примерно равных (но крошечных) амплитудах, размер конечных капель можно предсказать, определив по волновому числу, какой компонент растет быстрее всего. С течением времени именно компонент с максимальной скоростью роста станет доминировать и в конечном итоге станет тем, который разделит поток на капли. ^[8]

Хотя полное понимание того, как это происходит, требует математической разработки (см. ссылки ^{[6] [8]} ), диаграмма может дать концептуальное понимание. Обратите внимание на две полосы, показанные опоясывающими поток — одну на пике, а другую на впадине волны. На впадине радиус потока меньше, поэтому согласно уравнению Юнга–Лапласа давление из-за поверхностного натяжения увеличивается. Аналогично на пике радиус потока больше, и по тем же соображениям давление из-за поверхностного натяжения уменьшается. Если бы это был единственный эффект, мы бы ожидали, что более высокое давление в впадине выдавит жидкость в область более низкого давления на пике. Таким образом, мы видим, как волна растет по амплитуде с течением времени.

Но на уравнение Юнга-Лапласа влияют два отдельных компонента радиуса. В этом случае один из них — это радиус, уже обсуждавшийся, самого потока. Другой — радиус кривизны самой волны. Подогнанными дугами на диаграмме показаны они на пике и на впадине. Обратите внимание, что радиус кривизны на впадине на самом деле отрицателен, что означает, что, согласно Юнгу-Лапласу, он фактически уменьшает давление во впадине. Аналогично, радиус кривизны на пике положителен и увеличивает давление в этой области. Влияние этих компонентов противоположно влиянию радиуса самого потока.

Эти два эффекта, в общем, не полностью отменяют друг друга. Один из них будет иметь большую величину, чем другой, в зависимости от волнового числа и начального радиуса потока. Когда волновое число таково, что радиус кривизны волны доминирует над радиусом потока, такие компоненты будут со временем затухать. Когда эффект радиуса потока доминирует над эффектом кривизны волны, такие компоненты экспоненциально растут со временем.

Когда все математические расчеты выполнены, обнаруживается, что нестабильными компонентами (то есть компонентами, которые растут со временем) являются только те, где произведение волнового числа на начальный радиус меньше единицы ( ). Компонент, который растет быстрее всего, это тот, волновое число которого удовлетворяет уравнению ^[8] ${\displaystyle kR_{0}<1}$

${\displaystyle kR_{0}\simeq 0.697.}$

Примеры

Поток дождевой воды из-под навеса. Среди сил, управляющих образованием капель: неустойчивость Плато-Рэлея, поверхностное натяжение , сцепление , сила Ван-дер-Ваальса .

Дождевая вода капает с крыши

Из крана капает вода

Вода капает из крана

Частным случаем этого является образование мелких капель , когда вода капает из крана/водопроводного крана. Когда сегмент воды начинает отделяться от крана, образуется шейка, которая затем растягивается. Если диаметр крана достаточно большой, шейка не засасывается обратно, и она испытывает неустойчивость Плато-Рэлея и коллапсирует в мелкую каплю.

Мочеиспускание

Другой повседневный пример нестабильности Плато-Рэлея происходит при мочеиспускании, особенно при мочеиспускании стоя у мужчин. ^{[9] [10]} Струя мочи испытывает нестабильность примерно через 15 см (6 дюймов), разбиваясь на капли, что вызывает значительный обратный разбрызгивание при ударе о поверхность. Напротив, если струя контактирует с поверхностью, находясь в стабильном состоянии — например, при мочеиспускании прямо на писсуар или стену — обратный разбрызгивание почти полностью устраняется.

Струйная печать

Непрерывные струйные принтеры (в отличие от струйных принтеров с каплей по требованию) генерируют цилиндрический поток чернил, который распадается на капли перед тем, как запачкать бумагу принтера. Регулируя размер капель с помощью настраиваемых возмущений температуры или давления и сообщая чернилам электрический заряд, струйные принтеры затем направляют поток капель с помощью электростатики для формирования определенных узоров на бумаге принтера ^[11]

Примечания

1. Papageorgiou, DT (1995). «О разрыве нитей вязкой жидкости». Physics of Fluids . 7 (7): 1529–1544. Bibcode :1995PhFl....7.1529P. CiteSeerX  10.1.1.407.478 . doi :10.1063/1.868540.
2. Eggers, J. (1997). «Нелинейная динамика и распад потоков со свободной поверхностью». Reviews of Modern Physics . 69 (3): 865–930. arXiv : chao-dyn/9612025 . Bibcode : 1997RvMP...69..865E. doi : 10.1103/RevModPhys.69.865.
3. Плато, Дж. (1873). Statique expérimentale et theorique des Liquides Soumis aux Seules Force moléculaires [ Экспериментальная и теоретическая статика жидкостей, на которые действуют только молекулярные силы ] (на французском языке). Том. 2. Париж, Франция: Готье-Виллар. п. 261. Из стр. 261: «На возможном утверждении, абстракция faite de tout résultat theorique, que la limite de la stabilité du cylindre est включает в себя entre les valeurs 3,13 и 3,18,…» (Таким образом, это может быть подтверждено независимо от любого теоретического результата , что предел устойчивости цилиндра лежит между значениями 3,13 и 3,18, … )
4. Замедление неустойчивости Плато–Рэлея: отличительная характеристика идеально смачивающих жидкостей Джона МакКуэна. Получено 19.01.2007.
5. Луо, Юн (2005) «Функциональные наноструктуры с помощью упорядоченных пористых шаблонов» докторская диссертация, Университет Мартина Лютера (Галле-Виттенберг, Германия), Глава 2, стр. 23. Получено 19.01.2007.
6. Пьер-Жиль де Женн ; Франсуаза Брошар-Вайарт; Дэвид Кере (2002). Капиллярные и смачивающие явления — капли, пузыри, жемчуг, волны . Алекс Райзингер (пер.). Спрингер. ISBN 978-0-387-00592-8.
7. Уайт, Харви Э. (1948). Современная колледжская физика . ван Ностранд. ISBN 978-0-442-29401-4.
8. John WM Bush (май 2004 г.). "MIT Lecture Notes on Surface Tension, lecture 5" (PDF) . Массачусетский технологический институт . Получено 1 апреля 2007 г. .
9. Динамика писсуара: тактическое руководство, Splash Lab.
10. Университетские физики изучают обратное выплескивание мочи и предлагают лучшую тактику для мужчин (с видео), Боб Йирка, Phys.org, 7 ноября 2013 г.
11. [1]"Струйная печать - физика управления струями и каплями жидкости", Грэм Д. Мартин, Стивен Д. Хоат и Ян М. Хатчингс, 2008, J. Phys.: Conf. Ser

Внешние ссылки

• Неустойчивость Плато–Рэлея – трехмерное моделирование кинетики решетки методом Монте-Карло
• Неустойчивость Савара–Плато–Рэлея водного столба – Адаптивное численное моделирование
• Лекция Массачусетского технологического института о падающих струях жидкости, включая неустойчивость Плато-Рэлея в формате PDF, весьма математическая.