Нецентральное F-распределение

В теории вероятностей и статистике нецентральное F -распределение — это непрерывное распределение вероятностей _, которое является нецентральным обобщением (обычного) F -распределения . Оно описывает распределение частного ( X / n1 )/( Y / n2 ), где числитель X имеет нецентральное распределение хи-квадрат с n1 степенями свободы, а знаменатель Y _имеет центральное распределение хи-квадрат с _{n2 степенями свободы} . Также требуется, чтобы X и Y были статистически независимы друг от друга.

Это распределение тестовой статистики в задачах дисперсионного анализа, когда нулевая гипотеза ложна. Нецентральное F -распределение используется для нахождения степенной функции такого теста.

Возникновение и спецификация

Если — нецентральная хи-квадрат случайная величина с параметром нецентральности и степенями свободы, а — хи-квадрат случайная величина со степенями свободы, которая статистически независима от , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}}$

является нецентральной F -распределенной случайной величиной. Функция плотности вероятности (pdf) для нецентрального F -распределения равна ^[1]

${\displaystyle p(f)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\left({\frac {\nu _{2}}{2}},{\frac {\nu _{1}}{2}}+k\right)k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1+k}}$

когда и ноль в противном случае. Степени свободы и положительны. Член — бета-функция , где ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$ ${\displaystyle B(x,y)}$

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Кумулятивная функция распределения для нецентрального F -распределения имеет вид

${\displaystyle F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\left({\frac {\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}e^{-\lambda /2}\right)I\left({\frac {d_{1}x}{d_{2}+d_{1}x}}{\bigg |}{\frac {d_{1}}{2}}+j,{\frac {d_{2}}{2}}\right)}$

где — регуляризованная неполная бета-функция . ${\displaystyle I}$

Среднее значение и дисперсия нецентрального F -распределения равны

${\displaystyle \operatorname {E} [F]\quad {\begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\text{if }}\nu _{2}>2\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{if }}\nu _{2}>4\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 4.\\\end{cases}}}$

Особые случаи

При λ  = 0 нецентральное F -распределение становится F -распределением .

Связанные дистрибутивы

Z имеет нецентральное распределение хи-квадрат, если

${\displaystyle Z=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}F}$

где F имеет нецентральное F -распределение.

См. также нецентральное t-распределение .

Реализации

Нецентральное F -распределение реализовано в языке R (например, функция pf), в MATLAB (функции ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd и ncfstat в наборе статистических инструментов), в Mathematica (функция NoncentralFRatioDistribution), в NumPy (random.noncentral_f) и в библиотеках Boost C++ . ^[2]

Совместная вики-страница реализует интерактивный онлайн-калькулятор, запрограммированный на языке R , для нецентрального t-распределения, хи-квадратного распределения и распределения F в Институте статистики и эконометрики Берлинского университета имени Гумбольдта . ^[3]

Примечания

1. Кей, С. (1998). Основы статистической обработки сигналов: теория обнаружения . Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. 29. ISBN 0-13-504135-X.
2. Джон Мэддок; Пол А. Бристоу; Хьюберт Холин; Сяоган Чжан; Бруно Лаланд; Йохан Роде. «Нецентральное распространение F: Boost 1.39.0». Boost.org . Проверено 20 августа 2011 г.
3. Зигберт Клинке (10 декабря 2008 г.). «Сравнение нецентральных и центральных распределений». Гумбольдт-Университет Берлина.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. ; et al. "Нецентральное F-распределение". MathWorld . Wolfram Research, Inc . Получено 20 августа 2011 г. .