Эрмитова функция

Тип комплексной функции

В математическом анализе эрмитова функция — это сложная функция, обладающая тем свойством, что ее комплексно сопряженная функция равна исходной функции с переменной, измененной по знаку :

${\displaystyle f^{*}(x)=f(-x)}$

(где указывает на комплексное сопряжение) для всех в области . В физике это свойство называется PT-симметрией . ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Это определение распространяется также на функции двух и более переменных, например, в случае, когда функция является функцией двух переменных, она является эрмитовой, если ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{*}(x_{1},x_{2})=f(-x_{1},-x_{2})}$

для всех пар в области . ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle f}$

Из этого определения немедленно следует, что: является эрмитовой функцией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$

• действительная часть — четная функция , ${\displaystyle f}$
• мнимая часть является нечетной функцией . ${\displaystyle f}$

Мотивация

Эрмитовы функции часто встречаются в математике, физике и обработке сигналов . Например, следующие два утверждения следуют из основных свойств преобразования Фурье: ^{[ необходима цитата ]}

• Функция имеет действительное значение тогда и только тогда, когда преобразование Фурье является эрмитовым. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Функция является эрмитовой тогда и только тогда, когда преобразование Фурье является действительным. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Поскольку преобразование Фурье действительного сигнала гарантированно является эрмитовым, его можно сжать с помощью эрмитовой четно/нечетной симметрии. Это, например, позволяет дискретному преобразованию Фурье сигнала (который в общем случае является комплексным) храниться в том же пространстве, что и исходный действительный сигнал.

• Если f эрмитово, то . ${\displaystyle f\star g=f*g}$

Где — кросс-корреляция , а — свертка . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle *}$

• Если и f, и g эрмитовы, то . ${\displaystyle f\star g=g\star f}$

Смотрите также

• Комплексное сопряжение  – основная операция над комплексными числами
• Чётные и нечётные функции  – функции, такие что f(–x) равно f(x) или –f(x)