Эрмитова функция

В математическом анализе эрмитовой функцией называется комплексная функция , обладающая тем свойством, что ее комплексно-сопряженная равна исходной функции с измененным знаком переменной :

f^{*}(x)=f(-x)

(где указывает на комплексное сопряжение) для всех в области . В физике это свойство называется PT-симметрией . $^{*}$ $х$ $е$

Это определение распространяется также на функции двух или более переменных, например, в случае, когда функция двух переменных является эрмитовой, если $е$

f^{*}(x_{1},x_{2})=f(-x_{1},-x_{2})

для всех пар в области . $(x_{1},x_{2})$ $е$

Из этого определения сразу следует, что: является эрмитовой функцией тогда и только тогда, когда $е$

действительная часть - четная функция , $е$
мнимая часть — нечетная функция . $е$

Мотивация

Эрмитовы функции часто встречаются в математике, физике и обработке сигналов . ^{Например}^{, следующие два утверждения следуют из основных свойств} преобразования Фурье ^:

Функция является вещественной тогда и только тогда, когда преобразование Фурье является эрмитовым. $е$ $е$
Функция является эрмитовой тогда и только тогда, когда преобразование Фурье действительно. $е$ $е$

Поскольку преобразование Фурье реального сигнала гарантированно является эрмитовым, его можно сжать с использованием эрмитовой четно-нечетной симметрии. Это, например, позволяет хранить дискретное преобразование Фурье сигнала (который, как правило, является сложным) в том же пространстве, что и исходный реальный сигнал.

Если f эрмитово, то . $f\star g=f*g$

Где взаимная корреляция и свертка . $\star$ $*$

Если и f , и g эрмитовы, то . $f\star g=g\star f$

Смотрите также

Комплексно-сопряженное - основные операции с комплексными числами.
Чётные и нечётные функции – функции, такие, что f(–x) равно f(x) или –f(x).