Неявная функция

В математике неявное уравнение — это отношение вида , где $R$ — функция нескольких переменных (часто многочлен ). Например, неявное уравнение единичной окружности — $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Неявная функция — это функция , которая определяется неявным уравнением, связывающим одну из переменных, рассматриваемую как значение функции , с другими, рассматриваемыми как аргументы . ^[1]^{: 204–206} Например, уравнение единичной окружности определяет $y$ как неявную функцию $x,$ если $-1 \leq$ $x$ $\leq 1$ , а $y$ ограничен неотрицательными значениями. $x^{2}+y^{2}-1=0$

Теорема о неявной функции устанавливает условия, при которых некоторые виды неявных уравнений определяют неявные функции, а именно те, которые получаются путем приравнивания к нулю многомерных функций , которые непрерывно дифференцируемы .

Примеры

Обратные функции

Распространенным типом неявной функции является обратная функция . Не все функции имеют уникальную обратную функцию. Если $g$ — функция $x$ , имеющая уникальную обратную функцию, то обратная функция $g$ , называемая $g -1$ , является единственной функцией, дающей решение уравнения

y=g(x)

для $x$ в терминах $y$ . Это решение можно записать как

x=g^{-1}(y)\,.

Определение $g -1$ как обратного значения $g$ является неявным определением. Для некоторых функций $g$ , $g -1 (y)$ можно явно записать как выражение в замкнутой форме — например, если $g (x) = 2 x - 1$ , то $g −1 ( y ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ( y + 1)$ . Однако это часто невозможно или возможно только путем введения новой нотации (как в примере журнала продукта ниже).

Интуитивно обратная функция получается из $g$ путем обмена ролями зависимой и независимой переменных.

Пример: логарифм произведения — это неявная функция, дающая решение для $x$ уравнения $y - xe x = 0$ .

Алгебраические функции

Алгебраическая функция — это функция, которая удовлетворяет полиномиальному уравнению, коэффициенты которого сами являются полиномами. Например, алгебраическая функция от одной переменной $x$ дает решение для $y$ уравнения

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

где коэффициенты $a i (x)$ являются полиномиальными функциями $x$ . Эту алгебраическую функцию можно записать как правую часть уравнения решения $y = f (x)$ . Записанная таким образом, $f$ является многозначной неявной функцией.

Алгебраические функции играют важную роль в математическом анализе и алгебраической геометрии . Простой пример алгебраической функции дается левой частью уравнения единичной окружности:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Решение относительно $y$ дает явное решение:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Но даже не указывая это явное решение, можно сослаться на неявное решение уравнения единичной окружности как $y = f (x)$ , где $f$ — многозначная неявная функция.

Хотя для уравнений квадратной , кубической и четвертой степени относительно $y$ можно найти явные решения, для уравнений пятой и более высоких степеней это , как правило, не так, например,

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Тем не менее, можно по-прежнему ссылаться на неявное решение $y = f (x),$ включающее многозначную неявную функцию $f$ .

Предостережения

Не каждое уравнение $R (x, y) = 0$ подразумевает график однозначной функции, уравнение окружности является одним из ярких примеров. Другим примером является неявная функция, заданная как $x - C (y) = 0$ , где $C$ — кубический полином , имеющий «горб» на своем графике. Таким образом, для того, чтобы неявная функция была истинной (однозначной) функцией, может потребоваться использовать только часть графика. Неявная функция иногда может быть успешно определена как истинная функция только после «увеличения» некоторой части оси $x$ и «отрезания» некоторых нежелательных ветвей функции. Затем можно записать уравнение, выражающее $y$ как неявную функцию других переменных.

Определяющее уравнение $R (x, y) = 0$ может также иметь другие патологии. Например, уравнение $x = 0$ вообще не подразумевает функцию $f (x),$ дающую решения для $y ; это вертикальная линия. Чтобы избежать подобной проблемы, на допустимые виды уравнений или на$ область определения часто накладываются различные ограничения . Теорема о неявной функции обеспечивает единообразный способ обработки этих видов патологий.

Неявная дифференциация

В исчислении метод, называемый неявным дифференцированием, использует цепное правило для дифференцирования неявно определенных функций.

Чтобы дифференцировать неявную функцию $y (x)$ , заданную уравнением $R (x, y) = 0$ , в общем случае невозможно решить ее явно относительно $y$ и затем дифференцировать. Вместо этого можно полностью дифференцировать $R (x, y) = 0$ относительно $x$ и $y$ , а затем решить полученное линейное уравнение относительно $⁠$ $dy / дх ⁠$ явно получить производную по $x$ и $y$ . Даже когда возможно явно решить исходное уравнение, формула, полученная в результате полного дифференцирования, в общем случае намного проще и удобнее в использовании.

Примеры

Пример 1

Учитывать

y+x+5=0\,.

Это уравнение легко решить относительно $y$ , получив

y=-x-5\,,

где правая сторона — явный вид функции $y (x)$ . Дифференцирование тогда дает $⁠$ $dy / дх ⁠ = -1$ .

В качестве альтернативы можно полностью продифференцировать исходное уравнение:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

Решение для $⁠$ $dy / дх ⁠$ дает

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

тот же ответ, что и полученный ранее.

Пример 2

Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем использование явного дифференцирования, является функция $y (x),$ определяемая уравнением

x^{4}+2y^{2}=8\,.

Чтобы явно дифференцировать это по $x$ , нужно сначала получить

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

и затем дифференцируем эту функцию. Это создает две производные: одну для $y \geq 0$ и другую для $y < 0$ .

Значительно проще неявно дифференцировать исходное уравнение:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

давая

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Пример 3

Часто бывает трудно или невозможно явно решить для $y$ , и неявное дифференцирование является единственным возможным методом дифференцирования. Примером может служить уравнение

y^{5}-y=x\,.

Невозможно алгебраически явно выразить $y$ как функцию $x$ , и поэтому нельзя найти $⁠$ $dy / дх ⁠$ явным дифференцированием. Используя неявный метод, $⁠$ $dy / дх ⁠$ можно получить, дифференцируя уравнение, чтобы получить

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

где $⁠$ $дх / дх ⁠ = 1.$ Выносим за скобки $⁠$ $dy / дх ⁠$ показывает, что

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

что дает результат

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

который определен для

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Общая формула для производной неявной функции

Если $R (x, y) = 0$ , то производная неявной функции $y (x)$ определяется по формуле ^[2]^{: §11.5}

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

где $R x$ и $R y$ обозначают частные производные R по $x$ $и$ y $.$

Приведенная выше формула получена путем использования обобщенного цепного правила для получения полной производной — по $x$ — обеих сторон $R (x, y) = 0$ :

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

следовательно

{\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

которая, когда решена для $⁠$ $dy / дх ⁠$ , дает выражение выше.

Теорема о неявной функции

Пусть $R (x, y)$ — дифференцируемая функция двух переменных, а $(a, b)$ — пара действительных чисел , такая что $R (a, b) = 0.$ Если $⁠$ $\partial R / \partial у ⁠ \neq 0$ , то $R (x, y) = 0$ определяет неявную функцию, которая дифференцируема в некоторой достаточно малой окрестности точки ( $a, b);$ другими словами, существует дифференцируемая функция $f$ , которая определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $a$ , такая, что $R (x, f (x)) = 0$ для $x$ в этой окрестности.

Условие $⁠$ $\partial R / \partial у ⁠ \neq 0$ означает, что $(a, b)$ является регулярной точкой неявной кривой неявногоуравнения $R (x, y) = 0$ , где касательная не вертикальна.

На менее техническом языке неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет невертикальную касательную. ^[2]^{: §11.5}

В алгебраической геометрии

Рассмотрим отношение вида $R (x 1, \dots, x n) = 0$ , где $R$ — многомерный многочлен. Множество значений переменных, удовлетворяющих этому отношению, называется неявной кривой, если $n = 2$ , и неявной поверхностью, если $n = 3.$ Неявные уравнения являются основой алгебраической геометрии , основными предметами изучения которой являются совместные решения нескольких неявных уравнений, левые части которых являются многочленами. Эти множества одновременных решений называются аффинными алгебраическими множествами .

В дифференциальных уравнениях

Решения дифференциальных уравнений обычно выражаются неявной функцией. ^[3]

Применение в экономике

Предельная норма замещения

В экономике , когда множество уровней $R (x, y) = 0$ представляет собой кривую безразличия для количеств $x$ и $y$ двух потребляемых товаров, абсолютное значение неявной производной $⁠$ $dy / дх ⁠$ интерпретируется как предельная норма замещения двух товаров: насколько больше товара $y$ нужно получить, чтобы быть безразличным к потере одной единицы товара $x$ .

Предельная норма технической замены

Аналогично, иногда множество уровней $R (L, K)$ является изоквантой, показывающей различные комбинации используемых количеств $L$ труда и $K$ физического капитала, каждое из которых приведет к производству одного и того же заданного количества продукции некоторого товара. В этом случае абсолютное значение неявной производной $⁠$ $дК / дл ⁠$ интерпретируется как предельная норма технической замены между двумя факторами производства: насколько больше капитала должна использовать фирма, чтобы произвести тот же объем продукции, затратив на одну единицу труда меньше.

Оптимизация

Часто в экономической теории некоторая функция, такая как функция полезности или функция прибыли , должна быть максимизирована относительно вектора выбора $x,$ даже если целевая функция не ограничена какой-либо конкретной функциональной формой. Теорема о неявной функции гарантирует, что условия первого порядка оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора $x *$ вектора выбора $x$ . Когда прибыль максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция спроса на рабочую силу и функции предложения различных товаров. Когда полезность максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция предложения рабочей силы и функции спроса на различные товары.

При этом влияние параметров задачи на $x *$ — частных производных неявной функции — можно выразить через полные производные системы условий первого порядка, найденные с помощью полного дифференцирования .

Смотрите также

Ссылки

^ Чан, Альфа С. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (третье изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
^ Стюарт, Джеймс (1998). Концепции исчисления и контексты . Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.
^ Каплан, Вилфред (2003). Advanced Calculus . Бостон: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

Дальнейшее чтение

Binmore, KG (1983). «Неявные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Бостон: McGraw-Hill . С. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
Саймон, Карл П.; Блюм, Лоуренс (1994). «Неявные функции и их производные». Математика для экономистов . Нью-Йорк: WW Norton. С. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

Внешние ссылки

Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Неявное дифференцирование, что здесь происходит?». 3Blue1Brown . Сущность исчисления. 3 мая 2017 г. – через YouTube .