Явные и неявные методы

Подходы к аппроксимации решений дифференциальных уравнений

Явные и неявные методы — это подходы, используемые в численном анализе для получения численных приближений к решениям зависящих от времени обыкновенных и частных дифференциальных уравнений , как это требуется при компьютерном моделировании физических процессов . Явные методы вычисляют состояние системы в более позднее время из состояния системы в текущее время, в то время как неявные методы находят решение, решая уравнение, включающее как текущее состояние системы, так и более позднее. Математически, если — текущее состояние системы, а — состояние в более позднее время ( — малый временной шаг), то для явного метода ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle Y(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t))\,}$

в то время как для неявного метода решается уравнение

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big )}=0\qquad (1)\,}$

найти ${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

Вычисление

Неявные методы требуют дополнительных вычислений (решение приведенного выше уравнения), и их может быть гораздо сложнее реализовать. Неявные методы используются, поскольку многие проблемы, возникающие на практике, являются жесткими , для которых использование явного метода требует непрактично малых временных шагов , чтобы сохранить ошибку в результате ограниченной (см. численная устойчивость ). Для таких задач, чтобы достичь заданной точности, требуется гораздо меньше вычислительного времени для использования неявного метода с большими временными шагами, даже принимая во внимание, что нужно решать уравнение вида (1) на каждом временном шаге. При этом, следует ли использовать явный или неявный метод, зависит от решаемой задачи. ${\displaystyle \Delta t}$

Поскольку неявный метод не может быть реализован для каждого вида дифференциального оператора, иногда целесообразно использовать так называемый метод расщепления оператора, который означает, что дифференциальный оператор переписывается в виде суммы двух дополнительных операторов

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

в то время как один рассматривается явно, а другой неявно. Для обычных приложений неявный член выбирается линейным, в то время как явный член может быть нелинейным. Эта комбинация первого метода называется неявно-явным методом (сокращенно IMEX, ^{[1] [2]} ).

Иллюстрация с использованием прямого и обратного методов Эйлера

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

с начальным условием Рассмотрим сетку для 0 ≤  k  ≤  n , то есть шаг по времени равен и обозначим для каждого . Дискретизируем это уравнение с помощью простейших явных и неявных методов, которыми являются прямой и обратный методы Эйлера (см. численные обыкновенные дифференциальные уравнения ) и сравним полученные схемы. ${\displaystyle y(0)=1.}$ ${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$ ${\displaystyle \Delta t=a/n,}$ ${\displaystyle y_{k}=y(t_{k})}$ ${\displaystyle k}$

Прямой метод Эйлера

Результат применения различных методов интегрирования к ОДУ: с . ${\displaystyle y'=-y^{2},\;t\in [0,5],\;y_{0}=1}$ ${\displaystyle \Delta t=5/10}$

Прямой метод Эйлера

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$

урожайность

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$

для каждого Это явная формула для . ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Обратный метод Эйлера

С обратным методом Эйлера

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$

находим неявное уравнение

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$

для (сравните это с формулой (3), где было задано явно, а не как неизвестное в уравнении). ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Это квадратное уравнение , имеющее один отрицательный и один положительный корень . Положительный корень выбран, потому что в исходном уравнении начальное условие положительно, а затем на следующем временном шаге задается как ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$

В подавляющем большинстве случаев уравнение, которое нужно решить при использовании неявной схемы, намного сложнее квадратного уравнения, и аналитического решения не существует. Тогда используются алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона , для нахождения численного решения.

Метод Кранка-Николсона

С помощью метода Кранка-Николсона

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$

находим неявное уравнение

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

для (сравните это с формулой (3), где было задано явно, а не как неизвестное в уравнении). Это можно решить численно, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона , чтобы получить . ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Crank-Nicolson можно рассматривать как форму более общих схем IMEX ( Implicit - Explicit ).

Метод Эйлера вперед-назад

Результат применения как прямого метода Эйлера, так и прямого-обратного метода Эйлера для и . ${\displaystyle a=5}$ ${\displaystyle n=30}$

Чтобы применить схему IMEX, рассмотрим немного иное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

Из этого следует, что

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$

и поэтому

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$

для каждого ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

Смотрите также

• Условие Куранта – Фридрихса – Леви.
• ПРОСТОЙ алгоритм , полунеявный метод для уравнений, связанных с давлением

Источники

1. UM Ascher, SJ Ruuth, RJ Spiteri: Неявно-явные методы Рунге-Кутты для зависящих от времени уравнений в частных производных , Appl Numer Math, т. 25(2-3), 1997
2. Л. Парески, Дж. Руссо: Неявно-явные схемы Рунге-Кутты для жестких систем дифференциальных уравнений , Последние тенденции в численном анализе, т. 3, 269-289, 2000