Неявная поверхность

Поверхность в трехмерном пространстве, определяемая неявной функцией трех переменных

Неявный поверхностный тор ( R = 40, a = 15) .

Неявная поверхность рода 2.

Неявная неалгебраическая поверхность ( бокал ).

В математике неявная поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве, определяемая уравнением

${\displaystyle F(x,y,z)=0.}$

Неявная поверхность — это множество нулей функции трёх переменных . Неявность означает, что уравнение не решено относительно x , y или z .

График функции обычно описывается уравнением и называется явным представлением. Третье существенное описание поверхности — параметрическое : , где x- , y- и z -координаты точек поверхности представлены тремя функциями, зависящими от общих параметров . Обычно смена представлений проста только тогда, когда задано явное представление: (неявное), (параметрическое). ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$ ${\displaystyle x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle z-f(x,y)=0}$ ${\displaystyle (s,t,f(s,t))}$

Примеры :

1. Самолет​ ${\displaystyle x+2y-3z+1=0.}$
2. Сфера​ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
3. Тор​ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$
4. Поверхность рода 2: (см. схему). ${\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0}$
5. Поверхность вращения (см. схему бокала ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0}$

Для плоскости, сферы и тора существуют простые параметрические представления. Это неверно для четвертого примера.

Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено (по крайней мере неявно) относительно x , y или z . Но в общем случае решение не может быть сделано явным. Эта теорема является ключом к вычислению существенных геометрических характеристик поверхности: касательных плоскостей , нормалей поверхности , кривизн (см. ниже). Но у них есть существенный недостаток: их визуализация сложна. ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

Если является полиномом по x , y и z , то поверхность называется алгебраической . Пример 5 не является алгебраическим. ${\displaystyle F(x,y,z)}$

Несмотря на сложность визуализации, неявные поверхности предоставляют относительно простые методы для создания теоретически (например, поверхность Штейнера ) и практически (см. ниже) интересных поверхностей.

Формулы

В дальнейшем рассмотрении неявная поверхность представляется уравнением , где функция удовлетворяет необходимым условиям дифференцируемости. Частные производные от равны . ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots }$

Касательная плоскость и нормальный вектор

Точка поверхности называется регулярной тогда и только тогда, когда градиент точки не является нулевым вектором , то есть ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$.

Если точка поверхности не является регулярной, она называется особой . ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Уравнение касательной плоскости в регулярной точке имеет вид ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

и нормальный вектор - это

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Нормальная кривизна

Для простоты формулы аргументы опущены: ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

— нормальная кривизна поверхности в регулярной точке для единичного направления касательной . — матрица Гессе (матрица вторых производных). ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle H_{F}}$ ${\displaystyle F}$

Доказательство этой формулы опирается (как и в случае неявной кривой) на теорему о неявной функции и формулу для нормальной кривизны параметрической поверхности .

Применение неявных поверхностей

Как и в случае неявных кривых, несложно сгенерировать неявные поверхности желаемой формы, применяя алгебраические операции (сложение, умножение) к простым примитивам.

Эквипотенциальная поверхность 4 точечных зарядов

Эквипотенциальная поверхность точечных зарядов

Электрический потенциал точечного заряда в точке порождает в точке потенциал (опуская физические константы) ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

Эквипотенциальная поверхность для значения потенциала — это неявная поверхность , представляющая собой сферу с центром в точке . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

Потенциал точечных зарядов представлен формулой ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

На рисунке четыре заряда равны 1 и расположены в точках . Отображаемая поверхность является эквипотенциальной поверхностью (неявной поверхностью) . ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$

Поверхность продукта с постоянным расстоянием

Овал Кассини можно определить как множество точек, для которых произведение расстояний до двух заданных точек постоянно (в отличие от эллипса, сумма постоянна ). Аналогичным образом неявные поверхности можно определить с помощью постоянного произведения расстояний до нескольких фиксированных точек.

На диаграмме метаморфоз верхняя левая поверхность формируется по такому правилу: При

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

отображается поверхность продукта с постоянным расстоянием . ${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$

Метаморфозы между двумя неявными поверхностями: тором и поверхностью произведения постоянных расстояний.

Метаморфозы неявных поверхностей

Еще один простой метод создания новых неявных поверхностей называется метаморфозой неявных поверхностей:

Для двух неявных поверхностей (на схеме: поверхность произведения постоянных расстояний и тор) определяются новые поверхности с использованием параметра конструкции : ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

На диаграмме расчетный параметр последовательно . ${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$

Аппроксимация трех торов ( параллельная проекция )

Изображение POV-Ray (центральная проекция) аппроксимации трех торов.

Гладкие аппроксимации нескольких неявных поверхностей

${\displaystyle \Pi }$-поверхности ^[1] могут быть использованы для аппроксимации любого заданного гладкого и ограниченного объекта , поверхность которого определяется одним полиномом как произведение вспомогательных полиномов. Другими словами, мы можем спроектировать любой гладкий объект с одной алгебраической поверхностью. Обозначим определяющие полиномы как . Тогда аппроксимирующий объект определяется полиномом ${\displaystyle R^{3}}$ ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

где обозначает параметр смешивания, который контролирует погрешность аппроксимации. ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

Аналогично гладкой аппроксимации с неявными кривыми уравнение

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

представляет для подходящих параметров гладкие аппроксимации трех пересекающихся торов с уравнениями ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(На диаграмме параметры следующие ) ${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$

Изображение POV-Ray: метаморфозы между сферой и поверхностью произведения постоянного расстояния (6 баллов).

Визуализация неявных поверхностей

Существуют различные алгоритмы для рендеринга неявных поверхностей, ^[2] включая алгоритм марширующих кубов . ^[3] По сути, существует две идеи для визуализации неявной поверхности: одна генерирует сеть полигонов, которая визуализируется (см. триангуляцию поверхности ), а вторая основана на трассировке лучей , которая определяет точки пересечения лучей с поверхностью. ^[4] Точки пересечения могут быть аппроксимированы трассировкой сферы , используя функцию расстояния со знаком для нахождения расстояния до поверхности. ^[5]

Смотрите также

• Неявная кривая

Ссылки

1. Адриано Н. Рапосо; Абель Дж. П. Гомес (2019). «Пи-поверхности: произведения неявных поверхностей к конструктивной композиции трехмерных объектов». WSCG 2019 27. Международная конференция в Центральной Европе по компьютерной графике, визуализации и компьютерному зрению. arXiv : 1906.06751 .
2. Жюль Блументаль; Чандраджит Баджадж; Брайан Уайвилл (15 августа 1997 г.). Введение в неявные поверхности. Морган Кауфманн. ISBN 978-1-55860-233-5.
3. Ян Стивенсон (1 декабря 2004 г.). Производственная визуализация: дизайн и реализация. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
4. Эрик Хейнс, Томас Акенин-Моллер: Жемчужины трассировки лучей , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2 
5. Харди, Александр; Стииб, Вилли-Ханс (2008). Математические инструменты в компьютерной графике с реализациями на C#. World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.

Дальнейшее чтение

• Гомес, А., Войкулеску, И., Хорхе, Дж., Уайвилл, Б., Гэлбрейт, К.: Неявные кривые и поверхности: математика, структуры данных и алгоритмы , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8 
• Торп: Элементарные темы дифференциальной геометрии , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1979, ISBN 0-387-90357-7