Метод основан на идее замощения сферы сферическими треугольниками – см. треугольники Шварца . Эта конструкция располагает три зеркала по сторонам треугольника, как в калейдоскопе . Однако, в отличие от калейдоскопа, зеркала не параллельны , а пересекаются в одной точке. Поэтому они заключают сферический треугольник на поверхности любой сферы с центром в этой точке, и повторные отражения производят множество копий треугольника. Если углы сферического треугольника выбраны соответствующим образом, треугольники замощат сферу один или несколько раз.
Если поместить вершину в подходящую точку внутри сферического треугольника, заключенного между зеркалами, можно гарантировать, что отражения этой точки дадут однородный многогранник. Для сферического треугольника ABC у нас есть четыре возможности, которые дадут однородный многогранник:
Вершина помещается в точку A. Это создает многогранник с символом Витхоффа a | b c , где a равно π, деленному на угол треугольника в точке A , и аналогично для b и c .
Вершина расположена в точке на линии AB так, что она делит пополам угол C. Это создает многогранник с символом Витхоффа a b | c .
Вершина расположена так, что она находится в инцентре ABC . Это создает многогранник с символом Витхоффа a b c |.
Вершина находится в точке, такой, что при повороте вокруг любого из углов треугольника на удвоенный угол в этой точке она смещается на одинаковое расстояние для каждого угла. Используются только четные отражения исходной вершины. Многогранник имеет символ Витхоффа | a b c .
Однородные многогранники , которые не могут быть созданы с помощью конструкции зеркала Витхоффа, называются невитхоффовыми. Обычно их можно получить из форм Витхоффа либо путем чередования (удаления чередующихся вершин), либо путем вставки чередующихся слоев частичных фигур. Оба эти типа фигур будут содержать вращательную симметрию. Иногда формы с усеченными вершинами считаются формами Витхоффа, хотя их можно построить только путем чередования всеусеченных форм.
Коксетер Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
Хар'Эл, З. Единообразное решение для единообразных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1] (Раздел 4: Калейдоскоп)
В.А. Витхофф , Связь между многогранниками семейства C600 , Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Sciences, 20 (1918) 966–970.
Внешние ссылки
Апплет Грега Эгана для отображения однородных многогранников с использованием метода построения Вайтхоффа
Рендеринг метода строительства Витхоффа с помощью Shadertoy
Jenn, программное обеспечение, которое генерирует виды (сферических) многогранников и полихор из групп симметрии
