Нильмногообразие

В математике нильмногообразие — это дифференцируемое многообразие , на котором действует транзитивная нильпотентная группа диффеоморфизмов. Как таковое, нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно факторпространству , фактору нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H. Это понятие было введено Анатолием Мальцевым в 1949 году. [ ^1] $Н/Ч$

В римановой категории также есть хорошее понятие нильмногообразия. Риманово многообразие называется однородным нильмногообразием, если существует нильпотентная группа изометрий, действующая на нем транзитивно. Требование, чтобы транзитивная нильпотентная группа действовала изометриями, приводит к следующей жесткой характеризации: каждое однородное нильмногообразие изометрично нильпотентной группе Ли с левоинвариантной метрикой (см. Wilson ^[2] ).

Нильмногообразия являются важными геометрическими объектами и часто возникают как конкретные примеры с интересными свойствами; в римановой геометрии эти пространства всегда имеют смешанную кривизну, ^[3] почти плоские пространства возникают как факторы нильмногообразий, ^[4] и компактные нильмногообразия использовались для построения элементарных примеров коллапса римановых метрик под действием потока Риччи . ^[5]

Помимо своей роли в геометрии, нильмногообразия все чаще рассматриваются как играющие роль в арифметической комбинаторике (см. Грин–Тао ^[6] ) и эргодической теории (см., например, Хост–Кра ^[7] ).

Компактные нильмногообразия

Компактное нильмногообразие — это нильмногообразие, которое является компактным. Один из способов построения таких пространств — начать с односвязной нильпотентной группы Ли N и дискретной подгруппы . Если подгруппа действует кокомпактно (через правое умножение) на N , то фактормногообразие будет компактным нильмногообразием. Как показал Мальцев, каждое компактное нильмногообразие получается таким образом. ^[1] $\Гамма$ $\Гамма$ $N/\Гамма$

Такая подгруппа , как выше, называется решеткой в N . Хорошо известно, что нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами : это критерий Мальцева . Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; для более подробной информации см. также MS Raghunathan . ^[8] $\Гамма$

Компактное риманово нильмногообразие — это компактное риманово многообразие, локально изометричное нильпотентной группе Ли с левоинвариантной метрикой. Эти пространства строятся следующим образом. Пусть — решетка в односвязной нильпотентной группе Ли N , как указано выше. Наделим N левоинвариантной (римановой) метрикой. Тогда подгруппа действует изометриями на N посредством левого умножения. Таким образом, фактор — это компактное пространство, локально изометричное N . Примечание: это пространство естественно диффеоморфно . $\Гамма$ $\Гамма$ $\Гамма \обратная косая черта N$ $N/\Гамма$

Компактные нильмногообразия также возникают как главные расслоения . Например, рассмотрим 2-ступенчатую нильпотентную группу Ли N , которая допускает решетку (см. выше). Пусть будет коммутантом подгруппы N. Обозначим через p размерность Z и через q коразмерность Z ; т. е. размерность N равна p+q. Известно (см. Рагхунатхан), что является решеткой в Z . Следовательно, является p -мерным компактным тором. Поскольку Z является центральным в N , группа G действует на компактном нильмногообразии с факторпространством . Это базовое многообразие M является q -мерным компактным тором. Было показано, что каждое главное торическое расслоение над тором имеет этот вид, см. ^[9] В более общем случае компактное нильмногообразие является торическим расслоением, над торическим расслоением, над... над тором. $Z=[N,N]$ $Z\cap \Гамма$ $G=Z/(Z\cap \Gamma)$ $P=N/\Гамма$ $М=П/Г$

Как упоминалось выше, почти плоские многообразия являются тесно компактными нильмногообразиями. См. эту статью для получения дополнительной информации.

Комплексные нильмногообразия

Исторически комплексное нильмногообразие означало фактор комплексной нильпотентной группы Ли по кокомпактной решетке . Примером такого нильмногообразия является многообразие Ивасавы . С 1980-х годов другое (более общее) понятие комплексного нильмногообразия постепенно заменило это.

Почти комплексная структура на вещественной алгебре Ли g является эндоморфизмом , квадрат которого равен −Id _g . Этот оператор называется комплексной структурой, если его собственные пространства, соответствующие собственным значениям , являются подалгебрами в . В этом случае I определяет левоинвариантную комплексную структуру на соответствующей группе Ли. Такое многообразие ( G , I ) называется комплексным групповым многообразием . Легко видеть, что каждое связное комплексное однородное многообразие, снабженное свободным транзитивным голоморфным действием вещественной группы Ли, получается таким образом. $I:\;g\rightarrow g$ $\pm {\sqrt {-1}}$ $g\otimes {\mathbb {C} }$

Пусть G — вещественная нильпотентная группа Ли. Комплексное нильмногообразие — это фактор-пространство комплексного группового многообразия ( G , I ), снабженного левоинвариантной комплексной структурой, по дискретной кокомпактной решетке, действующей справа.

Комплексные нильмногообразия обычно не являются однородными, как комплексные многообразия.

В комплексной размерности 2 единственными комплексными нильмногообразиями являются комплексный тор и поверхность Кодаиры . ^[10]

Характеристики

Компактные нильмногообразия (за исключением тора) никогда не являются гомотопически формальными . ^[11] Это немедленно подразумевает, что компактные нильмногообразия (за исключением тора) не могут допускать кэлерову структуру (см. также ^[12] ).

Топологически все нильмногообразия могут быть получены как итерированные торические расслоения над тором. Это легко увидеть из фильтрации по восходящей центральной серии . ^[13]

Примеры

Нильпотентные группы Ли

Из приведенного выше определения однородных нильмногообразий ясно, что любая нильпотентная группа Ли с левоинвариантной метрикой является однородным нильмногообразием. Наиболее известные нильпотентные группы Ли — это матричные группы, диагональные элементы которых равны 1, а нижние диагональные элементы — все нули.

Например, группа Гейзенберга является 2-ступенчатой нильпотентной группой Ли. Эта нильпотентная группа Ли также является особой в том, что она допускает компактный фактор. Группа будет верхними треугольными матрицами с целыми коэффициентами. Результирующее нильмногообразие является 3-мерным. Одной из возможных фундаментальных областей является (изоморфная) [0,1] ^{3 с гранями}, идентифицированными подходящим образом. Это происходит потому, что элемент нильмногообразия может быть представлен элементом в фундаментальной области. Здесь обозначает функцию пола x , а дробную часть . Появление функции пола здесь является ключом к значимости нильмногообразий для аддитивной комбинаторики: так называемые скобочные полиномы или обобщенные полиномы, по-видимому, важны для развития анализа Фурье более высокого порядка. ^[6] $\Гамма$ ${\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Гамма$ ${\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}$ $\lfloor x\rfloor$ $\{x\}$

Абелевы группы Ли

Более простым примером может служить любая абелева группа Ли. Это происходит потому, что любая такая группа является нильпотентной группой Ли. Например, можно взять группу действительных чисел при сложении и дискретную, кокомпактную подгруппу, состоящую из целых чисел. Полученное 1-шаговое нильмногообразие — это знакомая окружность . Другим знакомым примером может быть компактный 2-тор или евклидово пространство при сложении. $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

Обобщения

Параллельная конструкция, основанная на разрешимых группах Ли, производит класс пространств, называемых солвмногообразиями . Важным примером солвмногообразий являются поверхности Иноуэ , известные в комплексной геометрии .

Ссылки

^ ab Мальцев, Анатолий Иванович (1951). «Об одном классе однородных пространств». American Mathematical Society Translations (39).
^ Уилсон, Эдвард Н. (1982). «Группы изометрий на однородных нильмногообразиях». Geometriae Dedicata . 12 (3): 337–346. doi :10.1007/BF00147318. hdl : 10338.dmlcz/147061 . MR 0661539. S2CID 123611727.
^ Милнор, Джон (1976). «Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли». Advances in Mathematics . 21 (3): 293–329. doi : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 . MR 0425012.
^ Громов, Михаил (1978). «Почти плоские многообразия». Журнал дифференциальной геометрии . 13 (2): 231–241. doi : 10.4310/jdg/1214434488 . MR 0540942.
^ Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн, Поток Риччи: введение. Математические обзоры и монографии, 110. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2004. xii+325 стр. ISBN 0-8218-3515-7 .
^ ab Грин, Бенджамин ; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math.NT/0606088 . doi :10.4007/annals.2010.171.1753. MR 2680398. S2CID 119596965.
^ Хост, Бернард; Кра, Брайна (2005). «Нетрадиционные эргодические средние и нильмногообразия». Annals of Mathematics . (2). 161 (1): 397–488. doi : 10.4007/annals.2005.161.397 . MR 2150389.
^ Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 68. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86428-5. MR 0507234. Глава II
^ Пале, RS; Стюарт, TE Расслоения торов над тором. Proc. Amer. Math. Soc. 12 1961 26–29.
^ Кейдзо Хасэгава (2005). «Комплексные и кэлеровы структуры на компактных солвмногообразиях». Журнал симплектической геометрии . 3 (4): 749–767. arXiv : 0804.4223 . doi :10.4310/JSG.2005.v3.n4.a9. MR 2235860. S2CID 6955295. Zbl 1120.53043.
^ Кейдзо Хасэгава, Минимальные модели нильмногообразий, Proc. Amer. Math. Soc. 106 (1989), № 1, 65–71.
^ Бенсон, Чал; Гордон, Кэролин С. (1988). «Кэлеровы и симплектические структуры на нильмногообразиях». Топология . 27 (4): 513–518. doi : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 . MR 0976592.
^ Sönke Rollenske, Геометрия нильмногообразий с левоинвариантной комплексной структурой и деформациями в целом, 40 страниц, arXiv:0901.3120, Proc. London Math. Soc., 99, 425–460, 2009