Нильпотентная алгебра Ли

В математике алгебра Ли нильпотентна , если ее нижний центральный ряд заканчивается в нулевой подалгебре. Нижний центральный ряд — это последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Запишем , и для всех . Если нижний центральный ряд в конечном итоге достигает нулевой подалгебры, то алгебра Ли называется нильпотентной. Нижний центральный ряд для алгебр Ли аналогичен нижнему центральному ряду в теории групп , а нильпотентные алгебры Ли являются аналогами нильпотентных групп . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{n-1}]}$ ${\displaystyle n>0}$

Нильпотентные алгебры Ли — это именно те алгебры Ли, которые можно получить из абелевых алгебр Ли с помощью последовательных центральных расширений .

Обратите внимание, что определение означает, что рассматриваемая как неассоциативная неунитальная алгебра, алгебра Ли нильпотентна, если она нильпотентна как идеал. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Определение

Пусть будет алгеброй Ли . Говорят, что она нильпотентна, если нижний центральный ряд заканчивается, т.е. если для некоторого ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Явно это означает, что

${\displaystyle [X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0}$

${\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)}$

так что ad _{X 1} ad _{X 2} ⋅⋅⋅ ad _{X n} = 0 .

Эквивалентные условия

Совершенно особым следствием (1) является то, что

${\displaystyle [X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_{n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)}$

Таким образом, (ad _X ) ⁿ = 0 для всех . То есть, ad _X является нильпотентным эндоморфизмом в обычном смысле линейных эндоморфизмов (а не алгебр Ли). Мы называем такой элемент x в ad-нильпотентным . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примечательно, что если является конечномерным, то, по-видимому, гораздо более слабое условие (2) на самом деле эквивалентно (1), как утверждается в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теорема Энгеля : Конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее элементы ад-нильпотентны, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

чего мы здесь доказывать не будем.

Несколько более простое эквивалентное условие нильпотентности  : нильпотентно тогда и только тогда, когда нильпотентно (как алгебра Ли). Чтобы увидеть это, сначала заметим, что (1) подразумевает, что нильпотентно, поскольку расширение ( n − 1) -кратной вложенной скобки будет состоять из членов вида (1). Наоборот, можно написать ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [[\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),}$

и поскольку ad является гомоморфизмом алгебры Ли,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad} _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}}$

Если нильпотентно, то последнее выражение равно нулю для достаточно больших n , и соответственно первое. Но это подразумевает (1), поэтому нильпотентно. ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Кроме того, конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда существует убывающая цепочка идеалов такая, что . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$

Примеры

Строго верхние треугольные матрицы

Если — множество матриц размера k × k с элементами из , то подалгебра, состоящая из строго верхнетреугольных матриц, является нильпотентной алгеброй Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

алгебры Гейзенберга

Алгебра Гейзенберга нильпотентна. Например, в размерности 3 коммутатор двух матриц

${\displaystyle \left[{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

где . ${\displaystyle a''=ac'-a'c}$

Подалгебры Картана

Подалгебра Картана алгебры Ли является нильпотентной и самонормализующейся ^{[3] страница 80} . Условие самонормализации эквивалентно тому, что является нормализатором алгебры Ли. Это означает . Это включает верхние треугольные матрицы и все диагональные матрицы в . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=N_{\mathfrak {l}}({\mathfrak {c}})=\{x\in {\mathfrak {l}}:[x,c]\subset {\mathfrak {c}}{\text{ for }}c\in {\mathfrak {c}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

Другие примеры

Если алгебра Ли имеет автоморфизм простого периода без неподвижных точек, кроме 0 , то она нильпотентна. ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Характеристики

Нильпотентные алгебры Ли разрешимы

Каждая нильпотентная алгебра Ли разрешима . Это полезно при доказательстве разрешимости алгебры Ли , поскольку на практике обычно проще доказать нильпотентность (когда она имеет место!), чем разрешимость. Однако, в общем случае, обратное этому свойству неверно. Например, подалгебра ( k ≥ 2 ), состоящая из верхних треугольных матриц, , разрешима, но не нильпотентна. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(k,\mathbb {R} )}$

Подалгебры и изображения

Если алгебра Ли нильпотентна, то все подалгебры и гомоморфные образы нильпотентны. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Нильпотентность частного по центру

Если фактор-алгебра , где — центр , нильпотентна , то нильпотентна и . Это означает, что центральное расширение нильпотентной алгебры Ли нильпотентной алгеброй Ли нильпотентно. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теорема Энгеля

Теорема Энгеля : Конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее элементы ад-нильпотентны. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Форма «Ноль убийств»

Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли равна 0 .

Имеют внешние автоморфизмы

Ненулевая нильпотентная алгебра Ли имеет внешний автоморфизм , то есть автоморфизм, который не входит в образ Ad.

Производные подалгебры разрешимых алгебр Ли

Производная подалгебра конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем характеристики 0 нильпотентна.

Смотрите также

• Разрешимая алгебра Ли

Примечания

1. Кнапп, 2002 г., Предложение 1.32.
2. Серр, Ч. Я, предложение 1.
3. Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-6398-2. OCLC  852791600.
4. Якобсон, Н. (1989), Якобсон, Натан (ред.), «Заметка об автоморфизмах и выводах алгебр Ли», Сборник математических статей Натана Якобсона: Том 2 (1947–1965) , Contemporary Mathematicians, Birkhäuser, стр. 251–253, doi :10.1007/978-1-4612-3694-8_16, ISBN 978-1-4612-3694-8

Ссылки

• Фултон, У .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике . Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. МР  1153249.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Graduate Texts in Mathematics. Том 9. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Кнапп, AW (2002). Группы Ли после введения . Прогресс в математике. Т. 120 (2-е изд.). Бостон·Базель·Берлин: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• Серр, Жан-Пьер (2000), Алгебры полупростых комплексов Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, ISBN 978-3-540-67827-4.