Нильпотентная матрица

Математическая концепция в алгебре

В линейной алгебре нильпотентная матрица — это квадратная матрица N такая, что

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

для некоторого положительного целого числа . Наименьшее из них называется индексом , [ ^1] иногда степенью . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

В более общем смысле нильпотентное преобразование — это линейное преобразование векторного пространства , такое что для некоторого положительного целого числа (и, следовательно, для всех ). ^{[2] [3] [4]} Оба эти понятия являются частными случаями более общего понятия нильпотентности , которое применяется к элементам колец . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{k}=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{j}=0}$ ${\displaystyle j\geq k}$

Примеры

Пример 1

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

является нильпотентным с индексом 2, так как . ${\displaystyle A^{2}=0}$

Пример 2

В более общем случае любая -мерная треугольная матрица с нулями вдоль главной диагонали является нильпотентной с индексом ^{[ требуется ссылка ]} . Например, матрица ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

является нильпотентным, с

${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Индекс, таким образом, равен 4. ${\displaystyle B}$

Пример 3

Хотя приведенные выше примеры имеют большое количество нулевых элементов, типичная нильпотентная матрица не имеет их. Например,

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

хотя матрица не имеет нулевых элементов.

Пример 4

Кроме того, любые матрицы вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

такой как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}$

или

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}$

квадрат к нулю.

Пример 5

Возможно, наиболее яркими примерами нильпотентных матриц являются квадратные матрицы вида: ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

Вот первые несколько из них:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }$

Эти матрицы нильпотентны, но в их степенях, меньших индекса, нет нулевых элементов. ^[5]

Пример 6

Рассмотрим линейное пространство многочленов ограниченной степени. Оператор производной — это линейное отображение. Мы знаем, что применение производной к многочлену уменьшает его степень на единицу, поэтому при ее итеративном применении мы в конечном итоге получим ноль. Следовательно, на таком пространстве производная представима нильпотентной матрицей.

Характеристика

Для квадратной матрицы с действительными (или комплексными ) элементами следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle N}$является нильпотентным.
• Характеристический многочлен для равен . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}}$
• Минимальный многочлен для равен для некоторого положительного целого числа . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$
• Единственное комплексное собственное значение для равно 0. ${\displaystyle N}$

Последняя теорема справедлива для матриц над любым полем характеристики 0 или достаточно большой характеристики. (ср. тождества Ньютона )

Эта теорема имеет несколько следствий, в том числе:

• Индекс нильпотентной матрицы всегда меньше или равен . Например, каждая нильпотентная матрица в квадрате равна нулю. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\times 2}$
• Определитель и след нильпотентной матрицы всегда равны нулю. Следовательно, нильпотентная матрица не может быть обратимой .
• Единственная нильпотентная диагонализируемая матрица — это нулевая матрица.

См. также: Разложение Жордана–Шевалле#Критерий нильпотентности .

Классификация

Рассмотрим (верхнюю) матрицу сдвига : ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет 1 вдоль супердиагонали и 0 везде в остальном. Как линейное преобразование, матрица сдвига «сдвигает» компоненты вектора на одну позицию влево, при этом ноль появляется в последней позиции:

${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}$^[6]

Эта матрица нильпотентна со степенью и является канонической нильпотентной матрицей. ${\displaystyle n}$

В частности, если — любая нильпотентная матрица, то она подобна блочно - диагональной матрице вида ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

где каждый из блоков — это матрица сдвига (возможно, разного размера). Эта форма — частный случай канонической формы Жордана для матриц. ^[7] ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}}$

Например, любая ненулевая нильпотентная матрица 2 × 2 подобна матрице

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

То есть, если — любая ненулевая нильпотентная матрица размера 2 × 2, то существует базис b ₁ ,  b ₂ такой, что N b ₁  = 0 и N b ₂  =  b ₁ . ${\displaystyle N}$

Эта теорема классификации справедлива для матриц над любым полем . (Поле не обязательно должно быть алгебраически замкнутым.)

Флаг подпространств

Нильпотентное преобразование естественным образом определяет флаг подпространств ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

и подпись

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

Сигнатура характеризует с точностью до обратимого линейного преобразования . Кроме того, она удовлетворяет неравенствам ${\displaystyle L}$

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.}$

И наоборот, любая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, является сигнатурой нильпотентного преобразования.

Дополнительные свойства

• Если нильпотентна индекса , то и обратимы , где — единичная матрица . Обратные матрицы задаются формулой ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I+N}$ ${\displaystyle I-N}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots +(-N)^{k}\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots +N^{k}\\\end{aligned}}}$

• Если нильпотентно, то ${\displaystyle N}$
  ${\displaystyle \det(I+N)=1.}$

  Наоборот, если — матрица и ${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$

  для всех значений , то является нильпотентным. Фактически, поскольку является многочленом степени , достаточно, чтобы это выполнялось для различных значений . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle t}$
• Каждая сингулярная матрица может быть записана как произведение нильпотентных матриц. ^[8]
• Нильпотентная матрица является частным случаем сходящейся матрицы .

Обобщения

Линейный оператор локально нильпотентен , если для каждого вектора существует такое , что ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$

Для операторов в конечномерном векторном пространстве локальная нильпотентность эквивалентна нильпотентности.

Примечания

1. Херштейн (1975, стр. 294)
2. Борегар и Фрели (1973, стр. 312)
3. Херштейн (1975, стр. 268)
4. Неринг (1970, стр. 274)
5. Мерсер, Идрис Д. (31 октября 2005 г.). «Нахождение «неочевидных» нильпотентных матриц» (PDF) . idmercer.com . самостоятельно опубликовано; персональные полномочия: доктор математики, Университет Саймона Фрейзера . Получено 5 апреля 2023 г. .
6. Борегар и Фрели (1973, стр. 312)
7. Борегар и Фрели (1973, стр. 312, 313)
8. Р. Салливан, Произведения нильпотентных матриц, Линейная и полилинейная алгебра , т. 56, № 3

Ссылки

• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Херштейн, IN (1975), Топики по алгебре (2-е изд.), John Wiley & Sons
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

Внешние ссылки

• Нильпотентная матрица и нильпотентное преобразование на PlanetMath .