В математике , в частности в области алгебры , известной как теория групп , длина Фиттинга (или нильпотентная длина ) измеряет, насколько далека разрешимая группа от нильпотентности . Понятие названо в честь Ганса Фиттинга из-за его исследований нильпотентных нормальных подгрупп .
Цепочка фитингов (или серия фитингов илинильпотентный ряд ) длягруппы— этосубнормальный рядснильпотентными факторами. Другими словами, конечная последовательностьподгрупп,включающая как всю группу, так и тривиальную группу, такая, что каждая из них являетсянормальной подгруппойпредыдущей, и такая, что факторы последовательных членов являются нильпотентными группами.
Длина Фиттинга или нильпотентная длина группы определяется как наименьшая возможная длина цепи Фиттинга, если таковая существует.
Так же, как верхний центральный ряд и нижний центральный ряд являются экстремальными среди центральных рядов , существуют аналогичные ряды, экстремальные среди нильпотентных рядов.
Для конечной группы H подгруппа Фиттинга Fit ( H ) является максимальной нормальной нильпотентной подгруппой, в то время как минимальная нормальная подгруппа, частное по которой нильпотентно, — это γ ∞ ( H ), пересечение (конечного) нижнего центрального ряда , которое называется нильпотентным остатком . Они соответствуют центру и коммутаторной подгруппе (для верхнего и нижнего центрального ряда соответственно). Это не выполняется для бесконечных групп, поэтому для дальнейшего предположим, что все группы конечны.
Верхний ряд Фиттинга конечной группы — это последовательность характеристических подгрупп Fit n ( G ), определяемая соотношением Fit 0 ( G ) = 1 и Fit n +1 ( G )/ Fit n ( G ) = Fit (G/ Fit n ( G )). Это возрастающий нильпотентный ряд, на каждом шаге берущий максимально возможную подгруппу.
Нижний ряд Фиттинга конечной группы G — это последовательность характеристических подгрупп F n ( G ), определяемая соотношениями F 0 ( G ) = G , и F n +1 ( G ) = γ ∞ ( F n ( G )). Это убывающий нильпотентный ряд, на каждом шаге выбирающий минимально возможную подгруппу.
Более подробную информацию можно найти в (Huppert 1967, Kap. III, §4).
То, что центральные ряды делают для нильпотентных групп, ряды Фиттинга делают для разрешимых групп. Группа имеет центральный ряд тогда и только тогда, когда она нильпотентна, и ряд Фиттинга тогда и только тогда, когда она разрешима.
При наличии разрешимой группы нижний ряд Фиттинга является более «грубым» делением, чем нижний центральный ряд: нижний ряд Фиттинга дает ряд для всей группы, тогда как нижний центральный ряд спускается только от всей группы к первому члену ряда Фиттинга.
Нижняя серия примерок продолжается:
в то время как нижняя центральная серия подразделяет первую ступень,
и является поднятием нижнего центрального ряда для первого фактора F 0 / F 1 , который нильпотентен.
Продолжая таким образом (поднимая нижний центральный ряд для каждого частного ряда Фиттинга), получаем субнормальный ряд:
как грубые и точные деления на линейке .
Последовательные частные являются абелевыми, что показывает эквивалентность между разрешимостью и наличием ряда Фиттинга.