Третья проблема Гильберта

О разбиениях между многогранниками

Два многогранника одинакового объема, разрезанные на две части, которые можно собрать заново в любой многогранник

Третья из математических проблем Гильберта , представленная в 1900 году, была решена первой. Проблема связана со следующим вопросом: если даны любые два многогранника одинакового объема , всегда ли возможно разрезать первый на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить второй? Основываясь на более ранних работах Карла Фридриха Гаусса , ^[1] Дэвид Гильберт предположил, что это не всегда возможно. Это было подтверждено в течение года его студентом Максом Деном , который доказал, что ответ в общем случае «нет», приведя контрпример. ^[2]

Ответ на аналогичный вопрос о многоугольниках в 2 измерениях — «да», и он был известен давно; это теорема Уоллеса–Бойяи–Гервина .

Неизвестная Гильберту и Дену, третья проблема Гильберта была также предложена независимо Владиславом Кретковским для математического конкурса 1882 года Краковской академии искусств и наук и была решена Людвиком Антонием Биркенмайером с помощью метода, отличного от метода Дена. Биркенмайер не опубликовал результат, а оригинальная рукопись, содержащая его решение, была вновь обнаружена спустя годы. ^[3]

История и мотивация

Формула объема пирамиды ,

${\displaystyle {\frac {{\text{base area}}\times {\text{height}}}{3}},}$

был известен Евклиду , но все доказательства этого включают в себя некоторую форму предельного процесса или исчисления , в частности, метод исчерпания или, в более современной форме, принцип Кавальери . Подобные формулы в плоской геометрии могут быть доказаны более элементарными средствами. Гаусс сожалел об этом недостатке в двух своих письмах к Кристиану Людвигу Герлингу , который доказал, что два симметричных тетраэдра равносоставлены . ^[3]

Письма Гаусса стали мотивацией для Гильберта: можно ли доказать равенство объемов, используя элементарные методы «разрезать и склеить»? Потому что если нет, то и элементарное доказательство результата Евклида невозможно.

Ответ Дена

Доказательство Дена — пример, в котором абстрактная алгебра используется для доказательства невозможного результата в геометрии . Другие примеры — удвоение куба и трисекция угла .

Два многогранника называютсяравносоставленными, если первый можно разрезать на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить второй. Любые два равносоставленных многогранника имеют одинаковый объем. Гильберт спрашивает об обратном .

Для каждого многогранника Ден определяет значение, теперь известное как инвариант Дена , со свойством, что если разрезать на многогранные части , то В частности, если два многогранника являются равносоставленными, то они имеют один и тот же инвариант Дена. Затем он показывает, что каждый куб имеет нулевой инвариант Дена, в то время как каждый правильный тетраэдр имеет ненулевой инвариант Дена. Следовательно, эти две фигуры не могут быть равносоставленными. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$

Инвариант многогранника определяется на основе длин его ребер и углов между его гранями. Если многогранник разрезается на два, некоторые ребра разрезаются на два, и соответствующие вклады в инварианты Дена должны, следовательно, быть аддитивными по длинам ребер. Аналогично, если многогранник разрезается вдоль ребра, соответствующий угол разрезается на два. Разрезание многогранника обычно также вводит новые ребра и углы; их вклады должны компенсироваться. Углы, введенные при прохождении разреза через грань, добавляются к , а углы, введенные вокруг ребра, внутреннего по отношению к многограннику, добавляются к . Следовательно, инвариант Дена определяется таким образом, что целые кратные углов дают чистый вклад, равный нулю. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Все вышеперечисленные требования могут быть выполнены путем определения в качестве элемента тензорного произведения действительных чисел (представляющих длины ребер) и фактор-пространства (представляющего углы, со всеми рациональными кратными заменой на ноль). Для некоторых целей это определение может быть сделано с использованием тензорного произведения модулей над (или эквивалентно абелевых групп ), в то время как другие аспекты этой темы используют структуру векторного пространства на инвариантах, полученную путем рассмотрения двух факторов и как векторных пространств над и взятия тензорного произведения векторных пространств над . Этот выбор структуры в определении не делает разницы в том, являются ли два инварианта Дена, определенные любым способом, равными или неравными. ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Для любого ребра многогранника пусть будет его длиной и пусть обозначает двугранный угол двух граней , которые встречаются в точке , измеренный в радианах и рассматриваемый по модулю рациональных кратных . Инвариант Дена тогда определяется как где сумма берется по всем ребрам многогранника . Это оценка . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \ell (e)}$ ${\displaystyle \theta (e)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P}$

Дополнительная информация

В свете теоремы Дена выше можно спросить: «Какие многогранники являются равносоставленными?» Сидлер (1965) показал, что два многогранника являются равносоставленными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый объем и одинаковый инвариант Дена. ^{[4] Позднее} Бёрге Йессен распространил результаты Сидлера на четыре измерения. ^[5] В 1990 году Дюпон и Сах предоставили более простое доказательство результата Сидлера, переосмыслив его как теорему о гомологии определенных классических групп . ^[6]

В 1980 году Дебруннер показал, что инвариант Дена любого многогранника, которым можно периодически замостить все трехмерное пространство, равен нулю. ^[7]

Нерешенная задача по математике :

Должны ли многогранники с одинаковым объемом и инвариантом Дена в сферической или гиперболической геометрии быть равносоставленными?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Йессен также поставил вопрос о том, остается ли аналог результатов Йессена верным для сферической геометрии и гиперболической геометрии . В этих геометриях метод Дена продолжает работать и показывает, что когда два многогранника являются равносоставленными, их инварианты Дена равны. Однако остается открытым вопрос , всегда ли пары многогранников с одинаковым объемом и одинаковым инвариантом Дена в этих геометриях являются равносоставленными. ^[8]

Исходный вопрос

Первоначальный вопрос Гильберта был более сложным: если даны любые два тетраэдра T ₁ и T ₂ с одинаковой площадью основания и одинаковой высотой (и, следовательно, равным объемом), всегда ли можно найти конечное число тетраэдров, так что когда эти тетраэдры каким-либо образом приклеиваются к T ₁ , а также к T ₂ , полученные многогранники будут равносоставленными?

Инвариант Дена можно использовать для получения отрицательного ответа и на этот более сильный вопрос.

Смотрите также

• Тетраэдр Хилла
• Онорато Николетти

Ссылки

1. Карл Фридрих Гаусс : Werke , том. 8, стр. 241 и 244.
2. Ден, Макс (1901). «Уэбер ден Рауминхальт». Математические Аннален . 55 (3): 465–478. дои : 10.1007/BF01448001. S2CID  120068465.
3. Цесельска, Данута; Чесельский, Кшиштоф (29 мая 2018 г.). «Равноразложимость многогранников: решение третьей проблемы Гильберта в Кракове до ICM 1900». Математический интеллект . 40 (2): 55–63. дои : 10.1007/s00283-017-9748-4 . ISSN  0343-6993.
4. Сидлер, Ж.-П. (1965). «Необходимые и достаточные условия для эквивалентности многогранников евклидового пространства в трех измерениях». Комментарий. Математика. Хелв. 40 : 43–80. дои : 10.1007/bf02564364. S2CID  123317371.
5. Джессен, Борге (1972). «Алгебра многогранников». Nachrichten der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Fachgruppe II: Nachrichten aus der Physik, Astronomie, Geophysik, Technik : 47–53. МР  0353150. Збл  0262.52004.
6. Дюпон, Йохан; Сах, Чи-Хан (1990). «Гомологии евклидовых групп движений, сделанных дискретными, и евклидовы конгруэнции ножниц». Acta Math. 164 (1–2): 1–27. doi : 10.1007/BF02392750 .
7. Дебруннер, Ганс Э. (1980). «Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln». Арх. Математика. 35 (6): 583–587. дои : 10.1007/BF01235384. S2CID  121301319.
8. Дюпон, Йохан Л. (2001), Ножницы, конгруэнтность, групповая гомология и характеристические классы, Nankai Tracts in Mathematics, т. 1, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, стр. 6, doi : 10.1142/9789812810335, ISBN 978-981-02-4507-8, MR  1832859, архивировано из оригинала 2016-04-29.

Дальнейшее чтение

• Бенко, Д. (2007). «Новый подход к третьей проблеме Гильберта». The American Mathematical Monthly . 114 (8): 665–676. doi :10.1080/00029890.2007.11920458. S2CID  7213930.
• Шварц, Рич (2010). «Объяснение теоремы Дена – Сидлера» (PDF) .
• Кодзи, Сига; Тошикадзу Сунады (2005). Математический дар, III: Взаимодействие между топологией, функциями, геометрией и алгеброй . Американское математическое общество.

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Дена на Everything2
• Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант Дена». Математический мир .
• Инвариант Дена в Everything2
• Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Инвариант Дена», Энциклопедия математики , EMS Press