Номограмма (от греч. νόμος (nomos) «закон» и γραμμή ( grammē) «линия»), также называемая номографом , выравнивающей диаграммой или абаком , представляет собой графическое вычислительное устройство , двумерную диаграмму, предназначенную для приблизительного графического вычисления математической функции . Область номографии была изобретена в 1884 году французским инженером Филбертом Морисом д'Оканем (1862–1938) и широко использовалась в течение многих лет, чтобы предоставить инженерам быстрые графические вычисления сложных формул с практической точностью. Номограммы используют параллельную систему координат, изобретенную д'Оканем, а не стандартные декартовы координаты .
Номограмма состоит из набора из n шкал, по одной для каждой переменной в уравнении. Зная значения n-1 переменных, можно найти значение неизвестной переменной или, зафиксировав значения некоторых переменных, можно изучить связь между незафиксированными. Результат получается путем наложения линейки на известные значения на шкалах и считывания неизвестного значения с того места, где оно пересекает шкалу для этой переменной. Виртуальная или нарисованная линия, созданная линейкой, называется индексной линией или изоплетой .
Номограммы процветали во многих различных контекстах в течение примерно 75 лет, поскольку они позволяли производить быстрые и точные вычисления до эпохи карманных калькуляторов. Результаты номограммы получаются очень быстро и надежно, просто рисуя одну или несколько линий. Пользователю не нужно знать, как решать алгебраические уравнения, искать данные в таблицах, использовать логарифмическую линейку или подставлять числа в уравнения для получения результатов. Пользователю даже не нужно знать основное уравнение, которое представляет номограмма. Кроме того, номограммы естественным образом включают неявные или явные знания предметной области в свою конструкцию. Например, чтобы создать более крупные номограммы для большей точности, номограф обычно включает только те диапазоны шкалы, которые являются разумными и представляют интерес для задачи. Многие номограммы включают другие полезные отметки, такие как справочные метки и цветные области. Все они предоставляют пользователю полезные ориентиры.
Как и логарифмическая линейка, номограмма является графическим аналоговым вычислительным устройством. Также как и логарифмическая линейка, ее точность ограничена точностью, с которой физические отметки могут быть нарисованы, воспроизведены, просмотрены и выровнены. В отличие от логарифмической линейки, которая является универсальным вычислительным устройством, номограмма предназначена для выполнения определенного расчета с таблицами значений, встроенными в шкалы устройства . Номограммы обычно используются в приложениях, для которых уровень точности, который они обеспечивают, достаточен и полезен. В качестве альтернативы номограмму можно использовать для проверки ответа, полученного с помощью более точного, но подверженного ошибкам расчета.
Другие типы графических калькуляторов, такие как графики пересечений , трилинейные диаграммы и гексагональные диаграммы , иногда называют номограммами. Эти устройства не соответствуют определению номограммы как графического калькулятора, решение которого находится с помощью одной или нескольких линейных изоплет.
Номограмма для уравнения с тремя переменными обычно имеет три шкалы, хотя существуют номограммы, в которых две или даже все три шкалы являются общими. Здесь две шкалы представляют известные значения, а третья — шкала, с которой считывается результат. Простейшее такое уравнение — u 1 + u 2 + u 3 = 0 для трех переменных u 1 , u 2 и u 3 . Пример такого типа номограммы показан справа, аннотированный терминами, используемыми для описания частей номограммы.
Более сложные уравнения иногда можно выразить как сумму функций трех переменных. Например, номограмма в верхней части этой статьи может быть построена как номограмма с параллельным масштабом, поскольку ее можно выразить как такую сумму после логарифмирования обеих сторон уравнения.
Шкала для неизвестной переменной может находиться между двумя другими шкалами или за их пределами. Известные значения расчета отмечаются на шкалах для этих переменных, и между этими отметками проводится линия. Результат считывается с неизвестной шкалы в точке, где линия пересекает эту шкалу. Шкалы включают «отметки делений», указывающие точное расположение чисел, и они также могут включать помеченные опорные значения. Эти шкалы могут быть линейными , логарифмическими или иметь более сложную зависимость.
Образец изоплеты, показанный красным на номограмме в верхней части этой статьи, вычисляет значение T при S = 7,30 и R = 1,17. Изоплета пересекает шкалу для T чуть ниже 4,65; более крупная цифра, напечатанная в высоком разрешении на бумаге, дала бы T = 4,64 с точностью до трех знаков. Обратите внимание, что любая переменная может быть вычислена из значений двух других, что является особенностью номограмм, которая особенно полезна для уравнений, в которых переменная не может быть алгебраически изолирована от других переменных.
Прямые шкалы полезны для относительно простых расчетов, но для более сложных расчетов может потребоваться использование простых или сложных кривых шкал. Номограммы для более чем трех переменных могут быть построены путем включения сетки шкал для двух переменных или путем объединения отдельных номограмм с меньшим числом переменных в составную номограмму.
Номограммы использовались в широком спектре приложений. Пример включает:
Номограмма ниже выполняет расчет:
Эта номограмма интересна тем, что она выполняет полезный нелинейный расчет, используя только линейные, одинаково градуированные шкалы. Хотя диагональная линия имеет масштаб в раз больше, чем шкалы осей, числа на ней точно соответствуют тем, что находятся непосредственно под ней или слева, и поэтому ее можно легко создать, нарисовав прямую линию по диагонали на листе миллиметровой бумаги .
A и B вводятся на горизонтальной и вертикальной шкале, а результат считывается с диагональной шкалы. Будучи пропорциональной гармоническому среднему значению A и B , эта формула имеет несколько применений. Например, это формула параллельного сопротивления в электронике и уравнение тонкой линзы в оптике .
В примере красная линия показывает, что параллельные резисторы 56 и 42 Ом имеют суммарное сопротивление 24 Ом. Она также показывает, что объект на расстоянии 56 см от линзы , фокусное расстояние которой составляет 24 см, формирует действительное изображение на расстоянии 42 см.
Номограмма ниже может быть использована для приблизительного вычисления некоторых значений, необходимых при выполнении известного статистического теста, теста хи-квадрат Пирсона . Эта номограмма демонстрирует использование криволинейных шкал с неравномерно расположенными делениями.
Соответствующее выражение:
Шкала сверху делится между пятью различными диапазонами наблюдаемых значений: A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение находится в одном из этих диапазонов, а отметка деления, используемая на этой шкале, находится непосредственно над ним. Затем кривая шкала, используемая для ожидаемого значения, выбирается на основе диапазона. Например, наблюдаемое значение 9 будет использовать отметку деления над 9 в диапазоне A, а кривая шкала A будет использоваться для ожидаемого значения. Наблюдаемое значение 81 будет использовать отметку деления над 81 в диапазоне E, а кривая шкала E будет использоваться для ожидаемого значения. Это позволяет объединить пять различных номограмм в одну диаграмму.
Таким образом, синяя линия демонстрирует вычисление:
(9 − 5) 2 / 5 = 3,2
а красная линия демонстрирует вычисление:
(81 − 70) 2 / 70 = 1,7
При выполнении теста часто применяется поправка Йетса на непрерывность , которая просто заключается в вычитании 0,5 из наблюдаемых значений. Номограмма для выполнения теста с поправкой Йетса может быть построена просто путем смещения каждой «наблюдаемой» шкалы на полединицы влево, так что градуировки 1,0, 2,0, 3,0, ... размещаются там, где на данной диаграмме появляются значения 0,5, 1,5, 2,5, ....
.png/1280px-Risk_Based_Sampling_Nomogram_(3yr).png)
Хотя номограммы представляют собой математические отношения, не все они выведены математически. Следующая номограмма была разработана графически для достижения соответствующих конечных результатов, которые можно было бы легко определить произведением их отношений в субъективных единицах, а не численно. Использование непараллельных осей позволило включить нелинейные отношения в модель.
Цифры в квадратных полях обозначают оси, требующие ввода данных после соответствующей оценки.
Пара номограмм в верхней части изображения определяет вероятность возникновения и доступность, которые затем включаются в нижнюю многоступенчатую номограмму.
Линии 8 и 10 являются «линиями связи» или «линиями поворота» и используются для перехода между этапами сложной номограммы.
Последняя пара параллельных логарифмических шкал (12) не являются номограммами как таковыми, а шкалами считывания для перевода оценки риска (11, от отдаленного до крайне высокого) в частоту выборки для рассмотрения аспектов безопасности и других аспектов «защиты потребителей» соответственно. Этот этап требует политического «вложения», уравновешивающего стоимость и риск. В примере используется трехлетняя минимальная частота для каждого, хотя крайняя точка высокого риска на шкалах отличается для двух аспектов, давая разные частоты для двух, но оба подлежат общему минимальному отбору проб каждого продукта для всех аспектов по крайней мере один раз в три года.
Эта номограмма оценки риска была разработана Службой государственных аналитиков Великобритании при финансовой поддержке Агентства по пищевым стандартам Великобритании для использования в качестве инструмента для определения надлежащей частоты отбора проб и анализа пищевых продуктов в целях официального контроля пищевых продуктов, предназначенного для оценки всех потенциальных проблем со всеми продуктами питания, хотя пока и не принятого.
Используя линейку, можно легко прочитать недостающий член теоремы синусов или корни квадратного и кубического уравнения. [4]
