Волшебный шестиугольник

Магический шестиугольник порядка n — это расположение чисел в центральном шестиугольном узоре с n ячейками на каждом ребре таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех трех направлениях дает одну и ту же магическую константу M . Обычный магический шестиугольник содержит последовательные целые числа от 1 до 3 n ² − 3 n + 1. Оказывается, нормальные магические шестиугольники существуют только при n = 1 (что тривиально, поскольку он состоит всего из 1 ячейки) и n = 3. При этом решение порядка 3 существенно единственное. ^[1] Мэн также дал менее сложное конструктивное доказательство . ^[2]

Магический шестиугольник третьего порядка неоднократно публиковался как «новое» открытие. Ранним упоминателем и, возможно, первым первооткрывателем является Эрнст фон Хазельберг (1887 г.).

Доказательство обычных магических шестиугольников

Числа в шестиугольнике последовательные и располагаются от 1 до . Следовательно, их сумма представляет собой треугольное число , а именно $3n^{2}-3n+1$

s={1 \over {2}}(3n^{2}-3n+1)(3n^{2}-3n+2)={9n^{4}-18n^{3}+18n ^{2}-9n+2 \over {2}}

В любом заданном направлении (ВЗ, СВ-ЮЗ или СЗ-ЮВ) проходит r = 2 n - 1 рядов. Каждая из этих строк в сумме дает одно и то же число M. Поэтому:

M={s \over {r}}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2(2n-1)}}

Это можно переписать как

M=\left({\frac {9n^{3}}{4}}-{\frac {27n^{2}}{8}}+{\frac {45n}{16}}-{ \frac {27}{32}}\right)+{\frac {5}{32\left(2n-1\right)}}

Умножение на 32 дает

32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 \over 2n-1}

что показывает, что это должно быть целое число, следовательно, 2 n - 1 должно быть кратным 5, а именно 2 n - 1 = ±1 или 2 n - 1 = ±5. Единственные , которые удовлетворяют этому условию, - это и , доказывающие, что не существует нормальных магических шестиугольников, кроме 1-го и 3-го порядка. ${\frac {5}{2n-1}}$ $n\geq 1$ $n=1$ $n=3$

Аномальные магические шестиугольники

Хотя не существует нормальных магических шестиугольников с порядком выше 3, некоторые аномальные все же существуют. В данном случае ненормальность означает, что последовательность чисел начинается с цифры, отличной от 1. Арсен Захрай обнаружил эти шестиугольники четвертого и пятого порядков:

Шестиугольник 4-го порядка начинается с 3 и заканчивается 39, сумма его строк равна 111. Шестиугольник 5-го порядка начинается с 6 и заканчивается 66, а сумма его строк равна 244.

Шестиугольник 5-го порядка, начинающийся с 15, заканчивающийся 75 и суммирующийся до 305, выглядит следующим образом:

Сумма выше 305 для шестиугольников порядка 5 невозможна.

Шестиугольники порядка 5, где «X» — это заполнители для шестиугольников порядка 3, которые завершают числовую последовательность. Левый содержит шестиугольник с суммой 38 (цифры от 1 до 19), а правый — один из 26 шестиугольников с суммой 0 (цифры от −9 до 9). Для получения дополнительной информации посетите статью в немецкой Википедии.

Шестиугольник 6-го порядка можно увидеть ниже. Он был создан Луисом Хёлблингом 11 октября 2004 года:

Оно начинается с 21, заканчивается 111, а его сумма равна 546.

Этот магический шестиугольник 7-го порядка был открыт Арсеном Захреем с помощью моделирования отжига 22 марта 2006 года:

Оно начинается с 2, заканчивается 128, а его сумма равна 635.

Магический шестиугольник 8-го порядка был создан Луи К. Хёлблингом 5 февраля 2006 года:

Он начинается с −84 и заканчивается 84, а его сумма равна 0.

Магические Т-шестиугольники

Шестиугольники также можно построить из треугольников, как показано на следующих рисунках.

Этот тип конфигурации можно назвать Т-шестиугольником, и он имеет гораздо больше свойств, чем шестиугольник из шестиугольников.

Как и выше, ряды треугольников идут в трех направлениях, и в Т-шестиугольнике 2-го порядка 24 треугольника. В общем, Т-шестиугольник порядка n имеет треугольники. Сумма всех этих чисел равна: $6n^{2}$

S=3n^{2}(6n^{2}+1)

Если мы попытаемся построить магический Т-шестиугольник со стороной n , нам придется выбрать n четным , поскольку существует $r$ $= 2$ $n$ строк, поэтому сумма в каждой строке должна быть равна

M={\frac {S}{R}}={\frac {3n^{2}(6n^{2}+1)}{2n}}

Чтобы это было целое число, n должно быть четным. На сегодняшний день открыты магические Т-шестиугольники 2, 4, 6 и 8 порядка. Первым был магический Т-шестиугольник 2-го порядка, открытый Джоном Бейкером 13 сентября 2003 года. С этого времени Джон сотрудничает с Дэвидом Кингом, который обнаружил, что существует 59 674 527 неконгруэнтных магических Т-шестиугольников 2-го порядка.

Магические Т-шестиугольники имеют ряд общих свойств с магическими квадратами, но имеют и свои особенности. Самым удивительным из них является то, что сумма чисел в треугольниках, обращенных вверх, равна сумме чисел в треугольниках, обращенных вниз (независимо от размера Т-образного шестиугольника). В приведенном выше примере

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7

= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18

= 150

Примечания

^ Тригг, CW «Уникальный волшебный шестиугольник», журнал Recreational Mathematics Magazine , январь – февраль 1964 г. Проверено 16 декабря 2009 г.
^ Мэн, Ф. «Исследование магического шестиугольника третьего порядка», Shing-Tung Yau Awards , октябрь 2008 г. Проверено 16 декабря 2009 г.

Волшебный шестиугольник

Доказательство обычных магических шестиугольников

Аномальные магические шестиугольники

Магические Т-шестиугольники

Примечания

Рекомендации

Смотрите также