Разделить нормальное распределение

В теории вероятностей и статистике расщепленное нормальное распределение , также известное как двухчастное нормальное распределение , возникает в результате объединения в моде соответствующих половин двух нормальных распределений с одинаковым режимом , но с разными дисперсиями . Это утверждают Джонсон и др. ^[1] что это распределение было введено Гиббонсом и Милрой ^[2] и Джоном. ^[3] Но это два из нескольких независимых повторных открытий Zweiseitige Gauss'sche Gesetz, представленных в посмертно опубликованной книге Kollektivmasslehre (1897) ^[4] Густава Теодора Фехнера (1801-1887), см. Wallis (2014). ^[5] Еще одно открытие появилось совсем недавно в финансовом журнале. ^[6]

Определение

Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух противоположных половин двух функций плотности вероятности (PDF) нормальных распределений в их общем режиме .

PDF расщепленного нормального распределения имеет вид ^[1]

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise}}}$

где

${\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.}$

Обсуждение

Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух половин нормального распределения. В общем случае «родительские» нормальные распределения могут иметь разные дисперсии, что означает, что объединенная PDF не будет непрерывной . Чтобы гарантировать, что полученный PDF-файл интегрируется до 1, используется нормализующая константа A.

В частном случае, когда расщепленное нормальное распределение сводится к нормальному распределению с дисперсией . ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{*}^{2}}$

Когда σ ₂ ≠σ _1, константа А отличается от константы нормального распределения. Однако, когда константы равны. ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$

Знак его третьего центрального момента определяется разностью (σ ₂ -σ ₁ ). Если эта разница положительна, распределение перекошено вправо, а если отрицательное, то оно перекошено влево.

Другие свойства разделенной нормальной плотности обсуждались Джонсоном и др. ^[1] и Хулио. ^[7]

Альтернативные составы

Обсуждаемая выше формулировка исходит от Иоанна. ^[3] В литературе предлагаются две математически эквивалентные альтернативные параметризации. Бриттон, Фишер и Уитли ^[8] предлагают параметризацию с точки зрения моды, дисперсии и нормированной асимметрии, обозначаемой . Параметр μ является модой и эквивалентен моде в формулировке Джона. Параметр σ ² >0 сообщает о дисперсии (масштабе), и его не следует путать с дисперсией. Третий параметр, γ ∈ (-1,1), представляет собой нормализованный перекос. ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )}$

Вторая альтернативная параметризация используется в сообщениях Банка Англии и записывается с точки зрения моды, дисперсии и ненормированной асимметрии и обозначается . В этой формулировке параметр μ является модой и идентичен формулировке Джона ^[3] и Бриттона, Фишера и Уитли ^[8] . Параметр σ ² сообщает о дисперсии (масштабе) и является таким же, как в формулировке Бриттона, Фишера и Уитли. Параметр ξ равен разнице между средним значением и модой распределения и может рассматриваться как ненормированная мера асимметрии. ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )}$

Три параметризации математически эквивалентны, что означает, что между параметрами существует строгая связь и можно переходить от одной параметризации к другой. Имеют место следующие соотношения: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sigma _{1}^{2}(1+\gamma )=\sigma _{2}^{2}(1-\gamma )\\\gamma &={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}+\sigma _{1}^{2}}}\\\xi &={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\\\gamma &=\operatorname {sgn} (\xi ){\sqrt {1-\left({\frac {{\sqrt {1+2\beta }}-1}{\beta }}\right)^{2}}},\quad {\text{where}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Многомерные расширения

Многомерное обобщение расщепленного нормального распределения было предложено Виллани и Ларссоном. ^[10] Они предполагают, что каждая из главных компонент имеет одномерное расщепленное нормальное распределение с различным набором параметров µ, σ ₂ и σ ₁ .

Оценка параметров

Джон ^[3] предлагает оценивать параметры методом максимального правдоподобия . Он показывает, что функцию правдоподобия можно выразить в интенсивной форме, в которой параметры масштаба σ ₁ и σ ₂ являются функцией параметра местоположения µ. Вероятность в интенсивной форме равна:

${\displaystyle L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}}$

и его необходимо максимизировать численно только по отношению к одному параметру µ.

Учитывая оценку максимального правдоподобия, другие параметры принимают значения: ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

где N — количество наблюдений.

Виллани и Ларссон ^[10] предлагают использовать либо метод максимального правдоподобия , либо байесовскую оценку и предоставляют некоторые аналитические результаты как для одномерного, так и для многомерного случая.

Приложения

Разделенное нормальное распределение использовалось в основном в эконометрике и временных рядах. Замечательной областью применения является построение веерной диаграммы , представляющей распределение прогноза инфляции , сообщаемое центральными банками, таргетирующими инфляцию, по всему миру. ^{[7] [11]}

Рекомендации

1. Джонсон, Н.Л., Коц, С. и Балакришнан, Н. (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1 . Джон Уайли и сыновья. п. 173. ИСБН 978-0-471-58495-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Гиббонс, Дж. Ф.; Милрой, С. (1973). «Оценка профилей примесей в ионно-имплантированных аморфных мишенях с использованием объединенных полугауссовских распределений». Письма по прикладной физике . 22 (11): 568–569. Бибкод : 1973ApPhL..22..568G. дои : 10.1063/1.1654511.
3. Джон, С. (1982). «Трехпараметрическое, состоящее из двух частей нормальное семейство распределений и его подгонка». Коммуникации в статистике - теория и методы . 11 (8): 879–885. дои : 10.1080/03610928208828279.
4. Фехнер, GT (изд. Липпс, GF) (1897). Коллективмасслер . Энгельманн, Лейпциг.
5. Уоллис, К.Ф. (2014). Двухчастичное нормальное, бинормальное или двойное распределение Гаусса: его происхождение и повторные открытия. Статистическая наука , том. 29, нет. 1, стр. 106-112. doi: 10.1214/13-STS417.
6. де Роон, Ф. и Каренке, П. (2016). Простое асимметричное распределение с приложениями для оценки активов. Обзор финансов , 2016, 1-29.
7. Хуан Мануэль Хулио (2007). Веерная диаграмма: технические детали новой реализации. Банко де ла Республика . Проверено 11 сентября 2010 г. , прямая ссылка. {{cite conference}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
8. Бриттон, Э.; П. Фишер; Уитли, Дж. (1998). «Прогнозы отчета по инфляции: понимание веерной диаграммы». Ежеквартальный бюллетень . Февраль 1998 г.: 30–37.
9. Банерджи, Н.; А. Дас (2011). Веерная диаграмма: методология и ее применение к прогнозированию инфляции в Индии . Серия рабочих документов Резервного банка Индии.
10. Виллани, Маттиас; Рольф Ларссон (2006). «Многомерное расщепление нормального распределения и анализ асимметричных главных компонент». Коммуникации в статистике - теория и методы . 35 (6): 1123–1140. CiteSeerX 10.1.1.533.4095 . дои : 10.1080/03610920600672252. ISSN  0361-0926. S2CID  124959166. 
11. Банк Англии, Отчет об инфляции, заархивированный 13 августа 2010 г. в Wayback Machine.