Нормальная матрица

В математике комплексная квадратная матрица $A$ является нормальной , если она коммутирует со своей сопряженной транспонированной матрицей $A *$ :

A{\text{ нормальный}}\iff A^{*}A=AA^{*}.

Концепция нормальных матриц может быть расширена до нормальных операторов на бесконечномерных нормированных пространствах и до нормальных элементов в C*-алгебрах . Как и в случае с матрицами, нормальность означает, что коммутативность сохраняется, насколько это возможно, в некоммутативной обстановке. Это делает нормальные операторы и нормальные элементы C*-алгебр более податливыми для анализа.

Спектральная теорема утверждает, что матрица является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице , и, следовательно, любая матрица $A,$ удовлетворяющая уравнению $A * A = AA *,$ диагонализируема . (Обратное утверждение неверно, поскольку диагонализуемые матрицы могут иметь неортогональные собственные подпространства.) Таким образом , и где — диагональная матрица, диагональные значения которой в общем случае являются комплексными. $A=UDU^{*}$ $A^{*}=UD^{*}U^{*}$ $D$

Левый и правый сингулярные векторы в сингулярном разложении нормальной матрицы отличаются друг от друга и от соответствующих собственных векторов только комплексной фазой, поскольку для формирования сингулярных значений фаза должна быть вынесена за скобки из собственных значений. $A=UDV^{*}$

Особые случаи

Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы являются нормальными, причем все собственные значения являются единичным модулем, действительными и мнимыми соответственно. Аналогично, среди действительных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы являются нормальными, причем все собственные значения являются комплексно-сопряженными парами на единичной окружности, действительными и мнимыми соответственно. Однако это не тот случай, когда все нормальные матрицы являются либо унитарными, либо (косо)эрмитовыми, поскольку их собственные значения могут быть любыми комплексными числами, в общем случае. Например, не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, поскольку ее собственные значения равны ; тем не менее она нормальна, поскольку $A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}$ $2,(1\pm я {\sqrt {3}})/2$ $AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$

Последствия

Предложение — Нормальная треугольная матрица является диагональной .

Доказательство

Пусть $A$ — любая нормальная верхняя треугольная матрица. Поскольку используется индексная нотация, можно записать эквивалентное выражение, используя вместо этого $i$ -й единичный вектор ( ) для выбора $i$ -й строки и $i$ -го столбца: Выражение эквивалентно, и поэтому $(A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},$ ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i} = {\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.$ $\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)$ $\left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},$

что показывает, что

i

-я строка должна иметь ту же норму, что и

i

-й столбец.

Рассмотрим $i = 1.$ Первая запись строки 1 и столбца 1 одинаковы, а остальная часть столбца 1 равна нулю (из-за треугольности). Это означает, что первая строка должна быть нулевой для записей от 2 до $n$ . Продолжение этого аргумента для пар строка-столбец от 2 до $n$ показывает, что $A$ является диагональной. QED

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это именно те, к которым применима спектральная теорема :

Предложение — Матрица $A$ является нормальной тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица $Λ$ и унитарная матрица $U$ такие, что $A = U Λ U *$ .

Диагональные элементы Λ $являются$ собственными значениями A , а столбцы $U$ являются собственными векторами A. $Соответствующие$ собственные значения в $Λ располагаются в том же порядке$ $,$ в котором собственные векторы упорядочены как столбцы $U.$

Другой способ сформулировать спектральную теорему — сказать, что нормальные матрицы — это именно те матрицы, которые могут быть представлены диагональной матрицей относительно правильно выбранного ортонормированного базиса C $n$ $. Другими словами :$ матрица является нормальной тогда и только тогда, когда ее собственные пространства охватывают $C$ $n$ и попарно ортогональны относительно стандартного внутреннего произведения $C$ $n$ .

Спектральная теорема для нормальных матриц является частным случаем более общего разложения Шура , которое справедливо для всех квадратных матриц. Пусть $A$ — квадратная матрица. Тогда по разложению Шура она унитарна, подобно верхнетреугольной матрице, скажем, $B.$ Если $A$ нормальна, то и $B$ тоже . Но тогда $B$ должна быть диагональной, поскольку, как отмечено выше, нормальная верхнетреугольная матрица диагональна.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы по их спектрам, например:

Предложение — Нормальная матрица является унитарной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения (ее спектр) лежат на единичной окружности комплексной плоскости.

Предложение — Нормальная матрица является самосопряженной тогда и только тогда, когда ее спектр содержится в . Другими словами: Нормальная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны . $\mathbb {R}$

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно должны быть нормальными. Однако, справедливо следующее:

Предложение — Если $A$ и $B$ нормальны с $AB = BA$ , то и $AB$ , и $A + B$ также нормальны. Более того, существует унитарная матрица $U,$ такая что $UAU *$ и $UBU *$ являются диагональными матрицами. Другими словами, $A$ и $B$ одновременно диагонализируемы .

В этом особом случае столбцы $U *$ являются собственными векторами как $A,$ так и $B$ и образуют ортонормированный базис в $C n$ . Это следует из объединения теорем о том, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы одновременно треугольничаемы , а нормальная матрица диагонализуема – дополнительный результат состоит в том, что оба эти действия можно выполнить одновременно.

Эквивалентные определения

Можно привести довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$ . Тогда следующие определения эквивалентны:

$А$ — нормально.
$A$ диагонализируется унитарной матрицей .
Существует набор собственных векторов $A$ , который образует ортонормированный базис для $C n$ .
$\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ для каждого $х$ .
Норму Фробениуса матрицы $A$ можно вычислить по собственным значениям матрицы $A$ : . ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
Эрмитова часть $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2⁠ ( A + A * )$ и косоэрмитова часть $⁠$ $1 / 2 ⁠ (A - A *)$ из $A$ коммутируют.
$A *$ — многочлен (степени $\leq n - 1$ ) от $A$ .^[a]
$A * = AU$ для некоторой унитарной матрицы $U.$ ^[1 ]
$U$ и $P$ коммутируют, где мы имеем полярное разложение $A = UP$ с унитарной матрицей $U$ и некоторой положительно полуопределенной матрицей $P.$
$A$ коммутирует с некоторой нормальной матрицей $N$ с различными ^{[ требуется пояснение ]} собственными значениями.
$σ i = | λ i |$ для всех $1 \leq i \leq n$ , где $A$ имеет сингулярные значения $σ 1 \geq \dots \geq σ n$ и имеет собственные значения, которые индексируются с порядком $| λ 1 | \geq \dots \geq | λ n |$ .^[2]

Некоторые, но не все из вышеперечисленного обобщаются на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является только квазинормальным .

Аналогия нормальной матрицы

Иногда полезно (но иногда это вводит в заблуждение) думать о взаимоотношениях специальных видов нормальных матриц как об аналогах взаимоотношений соответствующего типа комплексных чисел, из которых состоят их собственные значения. Это происходит потому, что любая функция недефектной матрицы действует непосредственно на каждое из ее собственных значений, а сопряженное транспонирование ее спектрального разложения равно , где — диагональная матрица собственных значений. Аналогично, если две нормальные матрицы коммутируют и, следовательно, одновременно диагонализируемы, любая операция между этими матрицами также действует на каждую соответствующую пару собственных значений. $ВДВ^{*}$ $ВД^{*}В^{*}$ $D$

Сопряженное транспонирование аналогично комплексному сопряжению .
Унитарные матрицы аналогичны комплексным числам на единичной окружности .
Эрмитовы матрицы аналогичны действительным числам .
Эрмитовы положительно определенные матрицы аналогичны положительным действительным числам .
Косые эрмитовы матрицы аналогичны чисто мнимым числам .
Обратимые матрицы аналогичны ненулевым комплексным числам .
Обратная матрица имеет инвертированное собственное значение.
Равномерная масштабирующая матрица аналогична постоянному числу.
В частности, ноль аналогичен 0, и
единичная матрица аналогична 1 .
Идемпотентная матрица — это ортогональная проекция, каждое собственное значение которой равно 0 или 1.
Нормальная инволюция имеет собственные значения . $\pm 1$

В качестве особого случая комплексные числа могут быть встроены в обычные действительные матрицы 2×2 с помощью отображения , сохраняющего сложение и умножение. Легко проверить, что это вложение соблюдает все приведенные выше аналогии. $a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.$

Смотрите также

Примечания

^ Доказательство: Когда является нормальным, используйте интерполяционную формулу Лагранжа , чтобы построить многочлен такой, что , где — собственные значения . $А$ $P$ ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ $\lambda _{j}$ $А$

Цитаты

^ Хорн и Джонсон (1985), стр. 109
^ Хорн и Джонсон (1991), стр. 157

Источники

Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройял (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройял (1991). Темы анализа матриц . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.