Единая норма

Функция в математическом анализе

Периметр квадрата — это набор точек в ℝ ² , где норма sup равна фиксированной положительной константе. Например, точки (2, 0) , (2, 1) и (2, 2) лежат по периметру квадрата и принадлежат множеству векторов, норма sup которых равна 2.

В математическом анализе единая норма (илисуп норма ) присваиваетвещественнымиликомплекснымограниченным функциям, определеннымнамножестве, неотрицательное число ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

Эту норму еще называютвысшая норма ,т.Чебышевская норма,норма бесконечности ,или, когдаверхняя граньфактически является максимумом,максимум норма . Название «равномерная норма» происходит от того факта, что последовательность функцийсходится кметрике,полученной из равномерной нормы,тогда и только тогда, когдасходится кравномерно. ^[1] ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Если это непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале или, в более общем смысле, на компактном множестве, то она ограничена, и супремум в приведенном выше определении достигается с помощью теоремы Вейерштрасса об экстремальных значениях , поэтому мы можем заменить супремум максимумом. В этом случае норму еще называют ${\displaystyle f}$максимальная норма . В частности, еслинекоторый вектор такой, чтов конечномерномкоординатномпространствеонпринимает вид: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Это называется -норма . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Метрика и топология

Метрика, порожденная этой нормой, называетсяМетрика Чебышева , в честьПафнутия Чебышева, который первым начал систематически ее изучать.

Если допустить неограниченность функций, то эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все же позволяет определить топологию в рассматриваемом функциональном пространстве.

Бинарная функция

$${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$$

сходится равномерно ${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty }=0.\,}$$

Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; Замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно замкнутыми , а замыкания — равномерными замыканиями . Равномерное замыкание набора функций A - это пространство всех функций, которые могут быть аппроксимированы последовательностью равномерно сходящихся функций на. Например, одна из переформулировок теоремы Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что множество всех непрерывных функций на является равномерное замыкание множества полиномов на ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Для комплексных непрерывных функций над компактом это превращает их в алгебру C* .

Характеристики

Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра  ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

Причина использования индекса « » заключается в том, что всякий раз, когда непрерывно и для некоторых , тогда ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$ ${\displaystyle p\in (0,\infty )}$

$${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$

дискретное множествоp -norm ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Смотрите также

• L-бесконечность  - Пространство ограниченных последовательностей
• Равномерная непрерывность  – Равномерное ограничение изменения функций
• Единообразное пространство  - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
• Расстояние Чебышева  – Математическая метрика

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1964). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 151. ISBN 0-07-054235-Х.