Поддержка (теория меры)

Понятие в математике

В математике носитель (иногда топологический носитель или спектр ) меры на измеримом топологическом пространстве — это точное понятие того, где в пространстве «живет» мера. Он определяется как наибольшее ( замкнутое ) подмножество , для которого каждая открытая окрестность каждой точки множества имеет положительную меру. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Мотивация

(Неотрицательная) мера на измеримом пространстве на самом деле является функцией Поэтому, в терминах обычного определения носителя , носитель является подмножеством σ-алгебры , где черта сверху обозначает замыкание множества . Однако это определение несколько неудовлетворительно : мы используем понятие замыкания, но у нас даже нет топологии на Что мы на самом деле хотим знать, так это где в пространстве мера не равна нулю. Рассмотрим два примера: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ].}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu (A)\neq 0\}}},}$$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

1. Мера Лебега на действительной прямой Кажется очевидным, что «живет» на всей действительной прямой. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. Мера Дирака в некоторой точке Опять же, интуиция подсказывает, что мера «живет» в этой точке и нигде больше. ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p,}$

В свете этих двух примеров мы можем отвергнуть следующие возможные определения в пользу определения, приведенного в следующем разделе:

1. Мы могли бы удалить точки, где равен нулю, и взять остаток в качестве носителя. Это могло бы сработать для меры Дирака , но это определенно не сработает, поскольку мера Лебега любого синглтона равна нулю; это определение дало бы пустой носитель. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}.}$ ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle \lambda :}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. По сравнению с понятием строгой положительности мер, мы могли бы взять носитель как множество всех точек с окрестностью положительной меры: (или замыкание этого). Это также слишком упрощенно: взяв для всех точек это сделало бы носитель каждой меры, кроме нулевой меры, всем $${\displaystyle \{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}}$$ ${\displaystyle N_{x}=X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X.}$

Однако идея «локальной строгой позитивности» не так уж далека от рабочего определения.

Определение

Пусть будет топологическим пространством ; пусть обозначает борелевскую σ-алгебру на , т.е. наименьшую сигма-алгебру на , содержащую все открытые множества Пусть будет мерой на Тогда носитель (или спектр ) пространства определяется как множество всех точек в , для которых каждая открытая окрестность имеет положительную меру : ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle B(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in T.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,B(T))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)\}.}$$

Некоторые авторы предпочитают брать замыкание указанного выше множества. Однако это не обязательно: см. «Свойства» ниже.

Эквивалентное определение носителя — это наибольшее (по включению) множество, такое, что каждое открытое множество, имеющее непустое пересечение с , имеет положительную меру, т.е. наибольшее такое, что: ${\displaystyle C\in B(T)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle (\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$$

Подписанные и комплексные меры

Это определение можно распространить на знаковые и комплексные меры. Предположим, что есть знаковая мера . Используйте теорему разложения Хана , чтобы записать, где есть обе неотрицательные меры. Тогда носитель определяется как ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [-\infty ,+\infty ]}$ $${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-},}$$ ${\displaystyle \mu ^{\pm }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-}).}$$

Аналогично, если — комплексная мера , то носитель определяется как объединение носителей ее действительной и мнимой частей. ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

Характеристики

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$держится.

Мера на строго положительна тогда и только тогда, когда она имеет носитель Если строго положительна и произвольна, то любая открытая окрестность , поскольку она является открытым множеством , имеет положительную меру; следовательно, так что Обратно, если то каждое непустое открытое множество (будучи открытой окрестностью некоторой точки внутри себя, которая также является точкой носителя) имеет положительную меру; следовательно, строго положительна. Носитель меры замкнут в , поскольку его дополнение является объединением открытых множеств меры ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0.}$

В общем случае носитель ненулевой меры может быть пустым: см. примеры ниже. Однако, если является топологическим пространством Хаусдорфа и является мерой Радона , борелевское множество вне носителя имеет меру ноль : Обратное верно, если является открытым, но это неверно в общем случае: это неверно, если существует точка такая, что (например, мера Лебега). Таким образом, не нужно «интегрировать вне носителя»: для любой измеримой функции или ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu )}$ ${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ $${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

Понятие носителя меры и понятие спектра самосопряженного линейного оператора в гильбертовом пространстве тесно связаны. Действительно, если — регулярная борелевская мера на прямой, то оператор умножения является самосопряженным на своей естественной области определения , а его спектр совпадает с существенной областью определения функции тождества , которая является в точности носителем ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$ $${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$$ ${\displaystyle x\mapsto x,}$ ${\displaystyle \mu .}$

Примеры

мера Лебега

В случае меры Лебега на действительной прямой рассмотрим произвольную точку Тогда любая открытая окрестность должна содержать некоторый открытый интервал для некоторого Этот интервал имеет меру Лебега , поэтому Поскольку была произвольной, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ ${\displaystyle 2\epsilon >0,}$ ${\displaystyle \lambda (N_{x})\geq 2\epsilon >0.}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda )=\mathbb {R} .}$

Мера Дирака

В случае меры Дирака пусть и рассмотрим два случая: ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. если тогда каждая открытая окрестность содержит так ${\displaystyle x=p,}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(N_{x})=1>0.}$
2. с другой стороны, если тогда существует достаточно малый открытый шар вокруг , который не содержит так ${\displaystyle x\neq p,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(B)=0.}$

Мы приходим к выводу, что является замыканием множества синглетонов , которое является самим собой. ${\displaystyle \operatorname {supp} (\delta _{p})}$ ${\displaystyle \{p\},}$ ${\displaystyle \{p\}}$

Фактически, мера на действительной прямой является мерой Дирака для некоторой точки тогда и только тогда, когда носитель является единственным множеством. Следовательно, мера Дирака на действительной прямой является единственной мерой с нулевой дисперсией (при условии, что мера вообще имеет дисперсию). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{p\}.}$

Равномерное распределение

Рассмотрим меру на действительной прямой, определяемую как , т.е. равномерную меру на открытом интервале. Аналогичное рассуждение к примеру с мерой Дирака показывает, что Обратите внимание, что граничные точки 0 и 1 лежат в носителе: любое открытое множество, содержащее 0 (или 1), содержит открытый интервал вокруг 0 ​​(или 1), который должен пересекаться и, следовательно, иметь положительную ε-меру. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))}$$ ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=[0,1].}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle \mu }$

Нетривиальная мера, поддержка которой пуста

Пространство всех счетных ординалов с топологией, порожденной «открытыми интервалами», является локально компактным хаусдорфовым пространством . Мера («мера Дьедонне»), которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является борелевской вероятностной мерой, носитель которой пуст.

Нетривиальная мера, носитель которой имеет нулевую меру

На компактном хаусдорфовом пространстве носитель ненулевой меры всегда непуст, но может иметь меру. Пример этого дается путем добавления первого несчетного ординала к предыдущему примеру: носитель меры — это единственная точка , которая имеет меру. ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle 0.}$

Ссылки

1. Математические методы квантовой механики с приложениями к операторам Шредингера

• Амброзио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Parthasarathy, KR (2005). Вероятностные меры на метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. стр. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (См. главу 2, раздел 2.)
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера. AMS.(См. главу 3, раздел 2)