Нулевой набор

Измеримое множество, мера которого равна нулю

Треугольник Серпинского является примером нулевого множества точек в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

В математическом анализе нулевое множество — это измеримое по Лебегу множество действительных чисел, имеющее меру ноль . Его можно охарактеризовать как множество, которое может быть покрыто счетным объединением интервалов произвольно малой общей длины.

Понятие нулевого множества не следует путать с пустым множеством , как оно определено в теории множеств . Хотя пустое множество имеет нулевую меру Лебега , существуют также непустые множества, которые являются нулевыми. Например, любое непустое счетное множество действительных чисел имеет нулевую меру Лебега и, следовательно, является нулевым.

В более общем смысле, на заданном пространстве мер нулевое множество — это множество такое, что ${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Примеры

Каждое конечное или счетно бесконечное подмножество действительных чисел является нулевым множеством. Например, множество натуральных чисел и множество рациональных чисел являются счетно бесконечными и, следовательно, являются нулевыми множествами, если рассматривать их как подмножества действительных чисел.

Множество Кантора является примером несчетного нулевого множества. ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]}

Определение

Предположим, что есть подмножество действительной прямой такое, что для каждого существует последовательность открытых интервалов (где интервал имеет такую ​​длину, что тогда есть нулевое множество, ^[1] также известное как множество с нулевым содержимым. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$ $${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,}$$ ${\displaystyle A}$

В терминологии математического анализа это определение требует, чтобы существовала последовательность открытых покрытий , для которой предел длин покрытий равен нулю. ${\displaystyle A}$

Характеристики

Пусть будет мерным пространством . Имеем: ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$(по определению ) . ${\displaystyle \mu }$
• Любое счетное объединение нулевых множеств само является нулевым множеством (в силу счетной субаддитивности ) . ${\displaystyle \mu }$
• Любое (измеримое) подмножество нулевого множества само является нулевым множеством (в силу монотонности ) . ${\displaystyle \mu }$

Вместе эти факты показывают, что нулевые множества образуют 𝜎-идеал 𝜎 -алгебры . Соответственно, нулевые множества можно интерпретировать как пренебрежимые множества , что даёт теоретико-мерное понятие « почти всюду ». ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

мера Лебега

Мера Лебега — это стандартный способ присвоения длины , площади или объема подмножествам евклидова пространства .

Подмножество имеет нулевую меру Лебега и считается нулевым множеством тогда и только тогда , когда: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для любого положительного числа существует последовательность интервалов такая , что содержится в объединении и общая длина объединения меньше, чем ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Это условие можно обобщить, используя -кубы вместо интервалов. Фактически, идею можно сделать осмысленной на любом многообразии , даже если там нет меры Лебега. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$

Например:

• Относительно всех синглетонов множества являются нулевыми, и поэтому все счетные множества являются нулевыми. В частности, множество рациональных чисел является нулевым множеством, несмотря на то, что оно плотно в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Стандартная конструкция множества Кантора является примером нулевого несчетного множества , однако возможны и другие конструкции, которые присваивают множеству Кантора какую-либо меру. ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$
• Все подмножества, размерность которых меньше, имеют нулевую меру Лебега в Например, прямые линии или окружности являются нулевыми множествами в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Лемма Сарда : множество критических значений гладкой функции имеет меру нуль.

Если — мера Лебега для и π — мера Лебега для , то мера произведения В терминах нулевых множеств следующая эквивалентность была названа теоремой Фубини : ^[2] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$

• Для и ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$ $${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

Использует

Нулевые множества играют ключевую роль в определении интеграла Лебега : если функции и равны, за исключением нулевого множества, то интегрируемо тогда и только тогда, когда является, и их интегралы равны. Это мотивирует формальное определение пространств как множеств классов эквивалентности функций, которые различаются только на нулевых множествах. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Мера, в которой все подмножества нулевых множеств измеримы, является полной . Любая неполная мера может быть дополнена до полной меры, если утверждать, что подмножества нулевых множеств имеют меру нулевую. Мера Лебега является примером полной меры; в некоторых конструкциях она определяется как завершение неполной меры Бореля .

Подмножество множества Кантора, которое не является измеримым по Борелю.

Мера Бореля не является полной. Одна простая конструкция — начать со стандартного множества Кантора , которое замкнуто, следовательно, измеримо по Борелю, и имеет меру нулевую, и найти подмножество , которое не является измеримым по Борелю. (Поскольку мера Лебега является полной, оно , конечно, измеримо по Лебегу.) ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$

Во-первых, мы должны знать, что каждое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Пусть будет функцией Кантора , непрерывной функцией, которая локально постоянна на и монотонно возрастает на с и Очевидно, является счетной, так как она содержит одну точку на компоненту Следовательно имеет меру ноль, поэтому имеет меру один. Нам нужна строго монотонная функция , поэтому рассмотрим Поскольку является строго монотонной и непрерывна, то она является гомеоморфизмом . Кроме того, имеет меру один. Пусть будет неизмеримой, и пусть Поскольку является инъективной, мы имеем, что и, следовательно, является нулевым множеством. Однако, если бы оно было измеримым по Борелю, то также было бы измеримым по Борелю (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества непрерывной функцией измерим; является прообразом через непрерывную функцию ). Следовательно, является нулевым, но не измеримым по Борелю множеством. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K^{c},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle K^{c}.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)+x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(K)}$ ${\displaystyle E\subseteq g(K)}$ ${\displaystyle F=g^{-1}(E).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F\subseteq K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(F)}$ ${\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h=g^{-1}.}$ ${\displaystyle F}$

Хаар нулевой

В сепарабельном банаховом пространстве сложение переводит любое подмножество в трансляции для любого Когда существует вероятностная мера μ на σ-алгебре борелевских подмножеств такая , что для всех то есть нулевое множество Хаара . ^[3] ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A+x}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$ ${\displaystyle A}$

Термин относится к нулевой инвариантности мер трансляций, связывая ее с полной инвариантностью, обнаруженной с мерой Хаара .

Некоторые алгебраические свойства топологических групп связаны с размером подмножеств и нулевыми множествами Хаара. ^[4] Нулевые множества Хаара использовались в польских группах, чтобы показать, что когда A не является разреженным множеством , то содержит открытую окрестность единичного элемента . ^[5] Это свойство названо в честь Гуго Штейнгауза, поскольку оно является заключением теоремы Штейнгауза . ${\displaystyle A^{-1}A}$

Смотрите также

• Функция Кантора  – непрерывная функция, которая не является абсолютно непрерывной.
• Пустое множество  – математическое множество, не содержащее ни одного элемента.
• Мера (математика)  – Обобщение массы, длины, площади и объема.
• Ничего  – Полное отсутствие чего-либо; противоположность всему

Ссылки

1. Фрэнкс, Джон (2009). (Краткое) введение в интегрирование Лебега . Студенческая математическая библиотека. Том 48. Американское математическое общество . стр. 28. doi :10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
2. ван Даувен, Эрик К. (1989). «Теорема Фубини для нулевых множеств». American Mathematical Monthly . 96 (8): 718–21. doi :10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR  2324722. MR  1019152.
3. Матускова, Ева (1997). «Выпуклость и нулевые множества Хаара» (PDF) . Труды Американского математического общества . 125 (6): 1793–1799. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR  2162223.
4. Солецки, С. (2005). «Размеры подмножеств групп и нулевых множеств Хаара». Геометрический и функциональный анализ . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . doi :10.1007/s00039-005-0505-z. MR  2140632. S2CID  11511821. 
5. Dodos, Pandelis (2009). «Свойство Штейнхауза и нулевые множества Хаара». Бюллетень Лондонского математического общества . 41 (2): 377–44. arXiv : 1006.2675 . Bibcode :2010arXiv1006.2675D. doi :10.1112/blms/bdp014. MR  4296513. S2CID  119174196.

Дальнейшее чтение

• Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Мера, интеграл и вероятность . Springer. стр. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
• Джонс, Фрэнк (1993). Интеграция Лебега в евклидовых пространствах . Джонс и Бартлетт. стр. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
• Окстоби, Джон К. (1971). Мера и категория . Springer-Verlag. стр. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.