Закон ноля-единицы Хьюитта-Сэвиджа

Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа — это теорема теории вероятностей , аналогичная закону нуля-единицы Колмогорова и лемме Бореля-Кантелли , которая указывает, что событие определенного типа либо почти наверняка произойдет, либо почти наверняка не произойдет. Его иногда называют законом Сэвиджа-Хьюитта для симметричных событий . Он назван в честь Эдвина Хьюитта и Леонарда Джимми Сэвиджа . ^[1]

Формулировка закона нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа

Пусть – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в наборе . Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа гласит, что любое событие, появление или ненаступление которого определяется значениями этих случайных величин и появление или ненаступление которого не изменяется при конечных перестановках индексов, имеет вероятность либо 0, либо 1 ( «конечная» перестановка — это та, которая оставляет фиксированными все индексы, кроме конечного числа). ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$

Несколько более абстрактно определите сменную сигма-алгебру или сигма-алгебру симметричных событий как набор событий (в зависимости от последовательности переменных ), которые инвариантны относительно конечных перестановок индексов в последовательности . Затем . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {E}}\implies \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}$

Поскольку любую конечную перестановку можно записать как произведение транспозиций , если мы хотим проверить, является ли событие симметричным (находится в ), достаточно проверить, не изменяется ли его появление при произвольной транспозиции , . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$

Примеры

Пример 1

Пусть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин принимает значения в . Тогда событие сходимости ряда (к конечному значению) является симметричным событием в , поскольку его возникновение не изменяется при транспозициях (при конечном переупорядочении сходимость или расхождение ряда - и, более того, численное значение сама сумма — не зависит от порядка сложения слагаемых). Таким образом, ряд либо почти наверняка сходится, либо почти наверняка расходится. Если мы дополнительно предположим, что общее ожидаемое значение (что, по сути, означает, что из-за неотрицательности случайных величин), мы можем заключить, что ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}]>0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n}=0)<1}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}=+\infty \right)=1,}$

т.е. ряд почти наверняка расходится. Это особенно простое применение закона нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа. Во многих ситуациях может быть легко применить закон Хьюитта-Сэвиджа «ноль-единица», чтобы показать, что некоторое событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление сложно определить, какое из этих двух крайних значений является правильным.

Пример 2

Продолжая предыдущий пример, определите

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n},}$

что является позицией на шаге N случайного блуждания с приращениями iid X _n . Событие {  S _N  = 0 бесконечно часто} инвариантно относительно конечных перестановок. Следовательно, применим закон нуля-единицы, и можно сделать вывод, что вероятность случайного блуждания с реальными приращениями iid, бесконечно часто посещающего начало координат, равна либо единице, либо нулю. Посещение начала координат бесконечно часто является хвостовым событием по отношению к последовательности ( SN ), но _SN не являются независимыми, и поэтому закон нуля _- единицы Колмогорова здесь напрямую не применим. ^[2]

Рекомендации

1. Хьюитт, Э .; Сэвидж, ЖЖ (1955). «Симметричные меры декартовых произведений». Пер. амер. Математика. Соц . 80 : 470–501. дои : 10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8 .
2. Этот пример взят из Ширяева А. (1996). Теория вероятностей (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 381–82.