Нутация

Нутация (от латинского nutātiō «кивание, покачивание») — это раскачивание, покачивание или кивание по оси вращения в значительной степени осесимметричного объекта, такого как гироскоп , планета или пуля в полете , или как намеренное поведение механизм. В соответствующей системе отсчета это можно определить как изменение второго угла Эйлера . Если оно не вызвано внешними по отношению к телу силами, оно называется свободной нутацией или эйлеровой нутацией . ^[1] Чистая нутация — это такое движение оси вращения, при котором первый угол Эйлера остается постоянным. ^[^{нужна цитата}^] Таким образом, можно видеть, что круглая красная стрелка на диаграмме указывает на комбинированные эффекты прецессии и нутации, в то время как нутация в отсутствие прецессии только изменит наклон от вертикали (второй угол Эйлера). Однако в динамике космических аппаратов прецессию (изменение первого угла Эйлера) иногда называют нутацией. ^[2]

В твёрдом теле

Если волчок установить под наклоном на горизонтальную поверхность и быстро вращать, его ось вращения начнет прецессировать вокруг вертикали. Через небольшой промежуток времени волчок приходит в движение, при котором каждая точка на его оси вращения следует по круговой траектории. Вертикальная сила тяжести создает горизонтальный крутящий момент $τ$ вокруг точки контакта с поверхностью; волчок вращается в направлении этого момента с угловой скоростью $Ω$ такой, что в любой момент

{\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {\Omega} \times \mathbf {L},

(векторное векторное произведение )

где $L$ — мгновенный момент импульса волчка. ^[3]

Однако вначале прецессии нет, и верхняя часть волчка падает вбок и вниз, тем самым наклоняясь. Это приводит к дисбалансу моментов, который запускает прецессию. При падении вершина превышает угол наклона, при котором она могла бы устойчиво прецессировать, а затем колеблется около этого уровня. Это колебание называется нутацией . Если движение затухает, колебания будут затухать до тех пор, пока движение не станет устойчивой прецессией. ^[3]^[4]

Физику нутации в волчках и гироскопах можно исследовать на модели тяжелого симметричного волчка с закрепленным кончиком. (Симметричным волчком считается волчок, обладающий вращательной симметрией, или, в более общем смысле, волчок, у которого два из трех главных моментов инерции равны.) Первоначально эффект трения игнорируется. Движение волчка можно описать тремя углами Эйлера : углом наклона $θ$ между осью симметрии волчка и вертикалью (второй угол Эйлера); азимут φ вершины относительно вертикали (первый угол Эйлера) $;$ и угол поворота $ψ$ волчка вокруг своей оси (третий угол Эйлера). Таким образом, прецессия — это изменение $φ$ , а нутация — это изменение $θ$ . ^[5]

Если волчок имеет массу $M$ и его центр масс находится на расстоянии $l$ от точки поворота, его гравитационный потенциал относительно плоскости опоры равен

V=Mgl\cos(\theta).

В системе координат, где ось $z$ является осью симметрии, вершина имеет угловые скорости $ω 1, ω 2, ω 3$ и моменты инерции $I 1, I 2, I 3$ относительно осей $x, y$ и $z$ . Поскольку мы берем симметричный волчок, имеем $I 1$ = $I 2$ . Кинетическая энергия _

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2} \right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.

В терминах углов Эйлера это

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }} ^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.

Если для этой системы решить уравнения Эйлера–Лагранжа , окажется, что движение зависит от двух констант $a$ и $b$ (каждая из которых связана с константой движения ). Скорость прецессии связана с наклоном соотношением

{\dot {\phi }}={\frac {ba\cos(\theta)}{\sin ^{2}(\theta)}}.

Наклон определяется дифференциальным уравнением для $u = cos(θ)$ вида

{\dot {u}}^{2}=f(u)

где $f$ — кубический многочлен , зависящий от параметров $a$ и $b$ , а также констант, связанных с энергией и гравитационным моментом. Корни $f$ представляют собой косинусы углов, при которых $скорость$ изменения θ равна нулю. Один из них не связан с физическим углом; два других определяют верхнюю и нижнюю границы угла наклона, между которыми колеблется гироскоп. ^[6]

Астрономия

Нутация планеты происходит потому, что гравитационное воздействие других тел приводит к изменению скорости ее осевой прецессии с течением времени, поэтому скорость не является постоянной. Английский астроном Джеймс Брэдли обнаружил нутацию земной оси в 1728 году.

Земля

Нутация слегка изменяет осевой наклон Земли по отношению к плоскости эклиптики , смещая основные круги широты , которые определяются наклоном Земли ( тропические круги и полярные круги ).

В случае с Землей основными источниками приливной силы являются Солнце и Луна , которые постоянно меняют положение относительно друг друга и, таким образом, вызывают нутацию земной оси. Самый крупный компонент нутации Земли имеет период 18,6 лет, такой же, как и период прецессии узлов орбиты Луны . ^[1] Однако существуют и другие важные периодические члены, которые необходимо учитывать в зависимости от желаемой точности результата. Математическое описание (набор уравнений), представляющее нутацию, называется ^{[ кем? ]} «теория нутации». ^{[ нужна ссылка ]} Теоретически параметры корректируются более или менее специальным методом, чтобы получить наилучшее соответствие данным. Простая динамика твердого тела не дает лучшей теории; приходится учитывать деформации Земли, в том числе неупругость мантии и изменения границы ядро-мантия . ^[7]

Основной срок нутации обусловлен регрессией узловой линии Луны и имеет тот же период 6798 дней (18,61 года). Она достигает плюс-минус 17 дюймов по долготе и 9,2 дюйма по наклону . ^[8] Все остальные члены намного меньше; следующий по величине, с периодом 183 дня (0,5 года), имеет амплитуды 1,3″ и 0,6″ соответственно. Периоды всех термов размером более 0,0001 дюйма (примерно с той точностью, которую могут измерить доступные технологии) лежат между 5,5 и 6798 днями; по какой-то причине (как и в случае с периодами океанских приливов) они, похоже, избегают диапазона от 34,8 до 91 дня, так что это принято ^{[ по мнению кого? ]} , чтобы разделить нутацию на долгопериодные и короткопериодные сроки. Долгопериодные члены рассчитываются и упоминаются в альманахах, а дополнительная поправка за короткопериодные обычно берется из таблицы. Их также можно рассчитать от юлианского дня по методологии IAU 2000B. ^[9]

В популярной культуре

В фильме-катастрофе 1961 года « День, когда Земля загорелась» почти одновременный взрыв двух суперводородных бомб вблизи полюсов вызывает изменение нутации Земли, а также сдвиг ее оси на 11° и изменение орбиты Земли. вокруг Солнца.

В «Звездном пути: Следующее поколение » быстрое «зацикливание» или «изменение» «нутации щита» часто упоминается как средство, позволяющее задержать антагониста в его попытках прорвать оборону и разграбить «Энтерпрайз» или другой космический корабль.

Смотрите также

Примечания

^ аб Лоури, Уильям (2007). Основы геофизики (2-е изд.). Кембридж [ua]: Издательство Кембриджского университета . стр. 58–59. ISBN 9780521675963.
^ Касдин, Н. Джереми; Пейли, Дерек А. (2010). Инженерная динамика: всестороннее введение . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 526–527. ISBN 9780691135373.
^ ab Feynman, Leighton & Sands 2011, стр. 20–7 ^{[, необходимы пояснения ],}
^ Гольдштейн 1980, с. 220
^ Гольдштейн 1980, с. 217
^ Гольдштейн 1980, стр. 213–217.
^ «Резолюция 83 о теории нутации нежесткой Земли». Международная служба вращения Земли и систем отсчета . Федеральное агентство картографии и геодезии. 2 апреля 2009 года . Проверено 6 августа 2012 г.
^ "Basics of Space Flight, Chapter 2". Jet Propulsion Laboratory/NASA. 28 August 2013. Retrieved 2015-03-26.
^ "NeoProgrammics - Science Computations".

References

The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 20: Rotation in space
Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2d ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0201029189.
Lambeck, Kurt (2005). The earth's variable rotation : geophysical causes and consequences (Digitally printed 1st pbk. ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521673303.
Munk, Walter H.; MacDonald, Gordon J.F. (1975). The rotation of the earth : a geophysical discussion. Reprint. with corr. Cambridge, Eng.: Cambridge University Press. ISBN 9780521207782.