Ньютоновский предел

Приближение, применимое к физическим системам

В физике ньютоновский предел — это математическое приближение, применимое к физическим системам, демонстрирующим (1) слабую гравитацию , (2) объекты, движущиеся медленно по сравнению со скоростью света, и (3) медленно изменяющиеся (или полностью статические) гравитационные поля. ^[1] В этих условиях закон всемирного тяготения Ньютона может быть использован для получения точных значений. В общем случае и при наличии значительной гравитации необходимо использовать общую теорию относительности .

В ньютоновском пределе пространство-время приблизительно плоское ^[1] , и метрика Минковского может использоваться на конечных расстояниях. В этом случае «приблизительно плоское» определяется как пространство, в котором гравитационный эффект приближается к 0, математически реальное пространство-время и пространство Минковского не идентичны, пространство Минковского является идеализированной моделью.

Специальная теория относительности

В специальной теории относительности ньютоновское поведение в большинстве случаев может быть получено путем выполнения предела . В этом пределе часто появляющийся гамма-фактор становится равным 1 , а преобразования Лоренца между системами отсчета превращаются в преобразования Галилея ${\displaystyle v\to 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}&\to 1\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t'=\gamma (t-v/c^{2}\,x)&\to t'=t\\x'=\gamma (x-v\,t)&\to x'=x-v\,t\end{aligned}}}$$

Общая теория относительности

Геодезическое уравнение для свободной частицы в искривленном пространстве-времени с метрикой можно вывести из действия Если метрика пространства-времени равна тогда, игнорируя все вклады порядка, действие становится которое является действием, воспроизводящим ньютоновские уравнения движения частицы в гравитационном потенциале ^[2] ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {-g_{\mu \nu }\,{\dot {x}}^{\mu }\,{\dot {x}}^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g&={\begin{pmatrix}-1-{\frac {2\,\phi (x)}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {c^{2}+2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}}\\&=-m\,c\,\int dt\,\left({\sqrt {c^{2}}}+{\frac {1}{2\,{\sqrt {c^{2}}}}}\,\left(2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}\right)+...\right)\\&\approx \int dt\,\left(-m\,c^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-m\,\phi (x)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Смотрите также

• Классический предел

Ссылки

1. Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспект лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc/9712019 .
2. Амендола, Лука (20 ноября 2022 г.). «Lecture Notes: Cosmology» (PDF) . Гейдельбергский университет. стр. 12 . Получено 25 декабря 2022 г. .