В абстрактной алгебре нётеров модуль — это модуль , который удовлетворяет условию возрастающей цепи на своих подмодулях , где подмодули частично упорядочены по включению . [1]
Исторически Гильберт был первым математиком, работавшим со свойствами конечно порожденных подмодулей . Он доказал важную теорему, известную как теорема Гильберта о базисе , которая гласит, что любой идеал в многомерном кольце полиномов произвольного поля конечно порожден . Однако свойство названо в честь Эмми Нётер, которая первой открыла истинную важность этого свойства.
При наличии аксиомы выбора [2] [ необходим лучший источник ] возможны две другие характеристики:
Если M — модуль, а K — подмодуль, то M является нётеровым тогда и только тогда, когда K и M / K являются нётеровыми. Это контрастирует с общей ситуацией с конечно порождёнными модулями: подмодуль конечно порождённого модуля не обязательно должен быть конечно порождённым. [4]
Правое нётерово кольцо R по определению является нётеровым правым R -модулем над собой, использующим умножение справа. Аналогично кольцо называется левым нётеровым кольцом, когда R является нётеровым, рассматриваемым как левый R -модуль. Когда R является коммутативным кольцом, прилагательные лево-право могут быть опущены, поскольку они не нужны. Кроме того, если R является нётеровым с обеих сторон, его принято называть нётеровым, а не «лево- и право нётеровым».
Условие нётеровости также может быть определено на бимодульных структурах: нётеров бимодуль — это бимодуль, чей ч.у.м. подмножества подбимодулей удовлетворяет условию возрастающей цепи. Поскольку подбимодуль R - S -бимодуля M является, в частности, левым R - модулем, если M, рассматриваемый как левый R - модуль, был нётеровым, то M автоматически является нётеровым бимодулем. Однако может случиться, что бимодуль является нётеровым, при этом его левая или правая структуры не являются нётеровыми.