Теорема об отсутствии связи

Принцип в квантовой теории информации

В физике теорема об отсутствии связи или принцип отсутствия сигнализации — это теорема о невозможности перехода из квантовой теории информации , которая гласит, что во время измерения запутанного квантового состояния один наблюдатель, производя измерение подсистемы полного состояния, не может передать информацию другому наблюдателю. Теорема важна, потому что в квантовой механике квантовая запутанность — это эффект, с помощью которого определенные далеко разнесенные события могут быть коррелированы способами, которые на первый взгляд предполагают возможность связи быстрее скорости света . Теорема об отсутствии связи дает условия, при которых такая передача информации между двумя наблюдателями невозможна. Эти результаты можно применить для понимания так называемых парадоксов в квантовой механике, таких как парадокс ЭПР , или нарушений локального реализма, полученных при проверке теоремы Белла . В этих экспериментах теорема об отсутствии коммуникации показывает, что отсутствие локального реализма не приводит к тому, что можно было бы назвать «жуткой коммуникацией на расстоянии» (по аналогии с обозначением Эйнштейном квантовой запутанности как требующей «жуткого действия на расстоянии» при условии полноты квантовой механики).

Неофициальный обзор

Теорема об отсутствии связи утверждает, что в контексте квантовой механики невозможно передавать классические биты информации посредством тщательно подготовленных смешанных или чистых состояний , запутанных или нет. Теорема является лишь достаточным условием, которое утверждает, что если матрицы Крауса коммутируют, то не может быть никакой связи через квантовые запутанные состояния, и это применимо ко всем видам связи. С точки зрения теории относительности и квантового поля также запрещена сверхсветовая или «мгновенная» связь. ^[1] Будучи лишь достаточным условием, могут быть дополнительные случаи, когда связь не допускается, и могут быть также случаи, когда все еще возможно общаться через квантовый канал, кодируя больше, чем классическую информацию.

Что касается коммуникации, квантовый канал всегда можно использовать для передачи классической информации посредством общих квантовых состояний. ^{[2] [3]} В 2008 году Мэтью Хастингс доказал контрпример, в котором минимальная выходная энтропия не является аддитивной для всех квантовых каналов. Следовательно, по результату эквивалентности Питера Шора ^[4], емкость Холево не просто аддитивна, а супераддитивна, как и энтропия, и, как следствие, могут быть некоторые квантовые каналы, по которым можно передавать больше, чем классическая емкость. ^{[5] [6]} Обычно общая коммуникация происходит одновременно через квантовые и неквантовые каналы, и в общем случае порядок времени и причинность не могут быть нарушены.

Основное предположение, входящее в теорему, заключается в том, что квантово-механическая система подготовлена ​​в начальном состоянии с некоторыми запутанными состояниями, и что это начальное состояние можно описать как смешанное или чистое состояние в гильбертовом пространстве H. Через определенное время система делится на две части, каждая из которых содержит некоторые незапутанные состояния и половину квантово-запутанных состояний, и эти две части становятся пространственно различными, A и B , отправляются двум различным наблюдателям, Алисе и Бобу , которые могут свободно выполнять квантово-механические измерения на своей части общей системы (а именно, A и B). Вопрос в следующем: существует ли какое-либо действие, которое Алиса может выполнить над A, которое было бы обнаружено Бобом, проводящим наблюдение за B? Теорема отвечает «нет».

Важное предположение, входящее в теорему, заключается в том, что ни Алисе, ни Бобу не разрешено каким-либо образом влиять на подготовку начального состояния. Если бы Алисе было разрешено участвовать в подготовке начального состояния, ей было бы тривиально легко закодировать в нем сообщение; таким образом, ни Алиса, ни Боб не участвуют в подготовке начального состояния. Теорема не требует, чтобы начальное состояние было каким-то образом «случайным», «сбалансированным» или «однородным»: действительно, третья сторона, подготавливающая начальное состояние, могла бы легко закодировать в нем сообщения, полученные Алисой и Бобом. Проще говоря, теорема утверждает, что при заданном некотором начальном состоянии, подготовленном каким-либо образом, нет никаких действий, которые Алиса может предпринять и которые были бы обнаружены Бобом.

Доказательство продолжается путем определения того, как полное гильбертово пространство H может быть разделено на две части, H _A и H _B , описывающие подпространства, доступные Алисе и Бобу. Предполагается, что полное состояние системы описывается матрицей плотности σ. Это кажется разумным предположением, поскольку матрицы плотности достаточно для описания как чистых, так и смешанных состояний в квантовой механике. Другая важная часть теоремы заключается в том, что измерение выполняется путем применения обобщенного проекционного оператора P к состоянию σ. Это снова разумно, поскольку проекционные операторы дают соответствующее математическое описание квантовых измерений . После измерения Алисой состояние полной системы, как говорят, схлопнулось в состояние P (σ).

Цель теоремы — доказать, что Боб не может каким-либо образом отличить состояние до измерения σ от состояния после измерения P (σ). Это достигается математически путем сравнения следа σ и следа P (σ), причем след берется по подпространству H _A . Поскольку след находится только по подпространству, технически он называется частичным следом . Ключом к этому шагу является предположение, что (частичный) след адекватно суммирует систему с точки зрения Боба. То есть все, к чему Боб имеет доступ или когда-либо мог бы иметь доступ, измерить или обнаружить, полностью описывается частичным следом по H _A системы σ. Опять же, это разумное предположение, поскольку оно является частью стандартной квантовой механики. Тот факт, что этот след никогда не меняется, когда Алиса выполняет свои измерения, является заключением доказательства теоремы об отсутствии связи.

Формулировка

Доказательство теоремы обычно иллюстрируется на примере тестов Белла , в которых два наблюдателя, Алиса и Боб, выполняют локальные наблюдения над общей двудольной системой и используют статистический аппарат квантовой механики, а именно состояния плотности и квантовые операции . ^{[1] [7] [8]}

Алиса и Боб выполняют измерения в системе S, базовое гильбертово пространство которой $${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}.}$$

Также предполагается, что все конечномерно, чтобы избежать проблем со сходимостью. Состояние составной системы задается оператором плотности на H . Любой оператор плотности σ на H является суммой вида: где T _i и S _i являются операторами на H _A и H _B соответственно. Для следующего не требуется предполагать, что T _i и S _i являются операторами проекции состояния: т. е. они не обязательно должны быть неотрицательными или иметь след одного. То есть σ может иметь определение несколько более широкое, чем определение матрицы плотности; теорема по-прежнему верна. Обратите внимание, что теорема тривиально верна для разделимых состояний . Если общее состояние σ разделимо, ясно, что любая локальная операция Алисы оставит систему Боба нетронутой. Таким образом, смысл теоремы в том, что никакая коммуникация не может быть достигнута через общее запутанное состояние. $${\displaystyle \sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}}$$

Алиса выполняет локальное измерение в своей подсистеме. В общем случае это описывается квантовой операцией над состоянием системы следующего вида, где V _k называются матрицами Крауса , которые удовлетворяют $${\displaystyle P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),}$$ $${\displaystyle \sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.}$$

Термин из выражения означает, что измерительный аппарат Алисы не взаимодействует с подсистемой Боба. $${\displaystyle I_{H_{B}}}$$ $${\displaystyle (V_{k}\otimes I_{H_{B}})}$$

Предположим, что комбинированная система подготовлена ​​в состоянии σ и предположим, в целях аргументации, нерелятивистскую ситуацию, сразу (без задержки по времени) после того, как Алиса выполнит свое измерение, относительное состояние системы Боба задается частичным следом общего состояния по отношению к системе Алисы. В символах относительное состояние системы Боба после операции Алисы равно , где — отображение частичного следа по отношению к системе Алисы. $${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))}$$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}}$

Это состояние можно вычислить напрямую: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).\end{aligned}}}$$

Из этого следует, что статистически Боб не может отличить то, что сделала Алиса, от случайного измерения (или сделать ли она что-либо вообще).

Некоторые комментарии

• Если оператору плотности разрешено развиваться под влиянием нелокальных взаимодействий между A и B, то в общем случае вычисления в доказательстве больше не выполняются, если только не предполагаются подходящие коммутационные соотношения. ^[9] ${\displaystyle P(\sigma )}$
• Теорема о не-коммуникации, таким образом, утверждает, что общая запутанность сама по себе не может использоваться для передачи какой-либо информации. Сравните это с теоремой о не-телепортации , которая утверждает, что классический информационный канал не может передавать квантовую информацию. (Под передачей мы подразумеваем передачу с полной точностью.) Однако схемы квантовой телепортации используют оба ресурса для достижения того, что невозможно для каждого из них по отдельности.
• Теорема об отсутствии связи подразумевает теорему об отсутствии клонирования , которая гласит, что квантовые состояния не могут быть (идеально) скопированы. То есть клонирование является достаточным условием для передачи классической информации. Чтобы увидеть это, предположим, что квантовые состояния могут быть клонированы. Предположим, что части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса может отправлять биты Бобу следующим образом: если Алиса хочет передать «0», она измеряет спин своего электрона в направлении z , коллапсируя состояние Боба либо до , либо . Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом . Боб создает много копий состояния своего электрона и измеряет спин каждой копии в направлении z . Боб будет знать, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты или с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу передавать классические биты друг другу (возможно, через пространственно-подобные разделения, нарушая причинность ). ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• Версия теоремы об отсутствии связи, обсуждаемая в этой статье, предполагает, что квантовая система, совместно используемая Алисой и Бобом, является составной системой, т. е. что ее базовое гильбертово пространство является тензорным произведением, первый фактор которого описывает часть системы, с которой может взаимодействовать Алиса, а второй фактор описывает часть системы, с которой может взаимодействовать Боб. В квантовой теории поля это предположение можно заменить предположением, что Алиса и Боб пространственноподобно разделены . ^[10] Эта альтернативная версия теоремы об отсутствии связи показывает, что связь со скоростью, превышающей скорость света, не может быть достигнута с помощью процессов, подчиняющихся правилам квантовой теории поля.
• Доказательство теоремы об отсутствии связи предполагает, что все измеримые свойства системы Боба могут быть вычислены из ее приведенной матрицы плотности, что верно, учитывая правило Борна для вычисления вероятности выполнения различных измерений. Но эта эквивалентность правилу Борна может быть также по существу выведена в противоположном направлении, в том смысле, что можно показать, что правило Борна следует из предположения, что пространственно-подобные разделенные события не могут нарушать причинность, влияя друг на друга. ^[11]

Смотрите также

• Теорема о не-трансляции
• Теорема о запрете клонирования
• Теорема о невозможности удаления
• Теорема о несокрытии
• Теорема о нетелепортации

Ссылки

1. Peres, A.; Terno, D. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Rev. Mod. Phys . 76 (1): 93–123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode :2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.см. стр. 8
2. Квантовая информация, вычисления и криптография, Бенатти, Фаннес, Флореанини, Петритис: стр. 210 - теорема HSV и лемма 1
3. Лайош Диоши, Краткий курс квантовой теории информации - подход из теоретической физики 2006 г. Гл. 10. С. 87
4. Shor, Peter W. (1 апреля 2004 г.). «Эквивалентность вопросов аддитивности в квантовой теории информации». Communications in Mathematical Physics . 246 (3): 453–472. arXiv : quant-ph/0305035 . Bibcode : 2004CMaPh.246..453S. doi : 10.1007/s00220-003-0981-7. S2CID  189829228.
5. Hastings, MB (апрель 2009). «Супераддитивность пропускной способности связи с использованием запутанных входов». Nature Physics . 5 (4): 255–257. arXiv : 0809.3972 . Bibcode :2009NatPh...5..255H. doi :10.1038/nphys1224. S2CID  199687264.
6. Квантовая информация, вычисления и криптография, Бенатти, Фаннес, Флореанини, Петритис: стр. 212
7. Холл, Майкл Дж. У. (1987). «Неточные измерения и нелокальность в квантовой механике». Physics Letters A. 125 ( 2–3). Elsevier BV: 89–91. Bibcode : 1987PhLA..125...89H. doi : 10.1016/0375-9601(87)90127-7. ISSN  0375-9601.
8. Ghirardi, GC ; Grassi, R; Rimini, A; Weber, T (1988-05-15). «Эксперименты типа EPR, включающие нарушение CP-симметрии, не допускают сверхсветовой связи между удаленными наблюдателями». Europhysics Letters (EPL) . 6 (2). IOP Publishing: 95–100. Bibcode : 1988EL......6...95G. doi : 10.1209/0295-5075/6/2/001. ISSN  0295-5075. S2CID  250762344.
9. Пикок, КА; Хепберн, Б. (1999). «Begging the Signaling Question: Quantum Signaling and the Dynamics of Multiparticle Systems». Труды заседания Общества точной философии . arXiv : quant-ph/9906036 . Bibcode : 1999quant.ph..6036P.
10. Эберхард, Филипп Х.; Росс, Рональд Р. (1989), «Квантовая теория поля не может обеспечить коммуникацию быстрее света», Foundations of Physics Letters , 2 (2): 127–149, Bibcode : 1989FoPhL...2..127E, doi : 10.1007/bf00696109, S2CID  123217211
11. Журек, Войцех Хуберт. «Окружающая среда — инвариантность, причинность и вероятности в квантовой физике». https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211037

• Флориг, Мартин; Саммерс, Стивен Дж. (1997). «О статистической независимости алгебр наблюдаемых». Журнал математической физики . 38 (3). Издательство AIP: 1318–1328. Bibcode : 1997JMP....38.1318F. doi : 10.1063/1.531812. ISSN  0022-2488.