Теорема о прообразе

О прообразе точек многообразия под действием гладкого отображения

В математике , в частности в области дифференциальной топологии , теорема о прообразе является вариацией теоремы о неявной функции, касающейся прообраза отдельных точек многообразия под действием гладкого отображения . ^{[1] [2]}

Формулировка теоремы

Определение. Пусть будет гладким отображением между многообразиями. Мы говорим, что точка является регулярным значением , если для всех отображение сюръективно . Здесь и являются касательными пространствами и в точках и ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y}$ ${\displaystyle T_{x}X}$ ${\displaystyle T_{y}Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Теорема. Пусть будет гладким отображением, и пусть будет регулярным значением Тогда будет подмногообразием в Если тогда коразмерность равна размерности Также касательное пространство к равно ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle y\in {\text{im}}(f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker(df_{x}).}$

Существует также сложная версия этой теоремы: ^[3]

Теорема. Пусть и — два комплексных многообразия комплексной размерности Пусть — голоморфное отображение и пусть — такое, что для всех Тогда — комплексное подмногообразие комплексной размерности ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{m}}$ ${\displaystyle n>m.}$ ${\displaystyle g:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in {\text{im}}(g)}$ ${\displaystyle {\text{rank}}(dg_{x})=m}$ ${\displaystyle x\in g^{-1}(y).}$ ${\displaystyle g^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n-m.}$

Смотрите также

• Волокно (математика)  – множество всех точек в области определения функции, которые отображаются в некоторую заданную точку.
• Уровень  – подмножество области определения функции, на котором ее значение равно

Ссылки

1. Ту, Лоринг В. (2010), «9.3 Теорема о регулярном уровне множества», Введение в многообразия, Springer, стр. 105–106, ISBN 9781441974006.
2. Баньяга, Августин (2004), «Следствие 5.9 (Теорема о прообразе)», Лекции по гомологии Морса, Тексты по математическим наукам, т. 29, Springer, стр. 130, ISBN 9781402026959.
3. Феррари, Микеле (2013), «Теорема 2.5», Комплексные многообразия — Конспект лекций, основанный на курсе Ламбертуса Ван Геемена (PDF).