Проблема среднего значения

Нерешенная математическая задача

В математике проблема среднего значения была поставлена ​​Стивеном Смейлом в 1981 году. ^[1] Эта проблема все еще открыта в полной общности. В задаче спрашивается:

Для заданного комплексного многочлена степени ^{[2] A} и комплексного числа существует ли критическая точка (т.е. ) такая , что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(c)=0}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(c)}{z-c}}\right|\leq K|f'(z)|{\text{ for }}K=1{\text{?}}}$

Это было доказано для . ^[1] Для полинома степени константа должна быть не меньше из примера , поэтому оценка лучшей, чем , существовать не может. ${\displaystyle K=4}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\frac {d-1}{d}}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{d}-dz}$ ${\displaystyle K=1}$

Частичные результаты

Известно , что гипотеза верна в особых случаях; для других случаев границу можно улучшить в зависимости от степени , хотя неизвестна абсолютная граница , которая верна для всех . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K<4}$ ${\displaystyle d}$

В 1989 году Тишлер показал, что гипотеза верна для оптимальной границы, если имеет только действительные корни , или если все корни имеют одинаковую норму . ^{[3] [4]} ${\displaystyle K={\frac {d-1}{d}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В 2007 году Конте и др. доказали, что , ^[2] немного улучшив границу для фиксированного . ${\displaystyle K\leq 4{\frac {d-1}{d+1}}}$ ${\displaystyle K\leq 4}$ ${\displaystyle d}$

В том же году Крейн показал, что для . ^[5] ${\displaystyle K<4-{\frac {2.263}{\sqrt {d}}}}$ ${\displaystyle d\geq 8}$

Рассматривая обратное неравенство , Дубинин и Сугава доказали, что (при тех же условиях, что и выше) существует критическая точка такая, что . ^[6] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(\zeta )}{z-\zeta }}\right|\geq {\frac {|f'(z)|}{n4^{n}}}}$

Проблема оптимизации этой нижней границы известна как двойственная задача среднего значения. ^[7]

Смотрите также

• Список нерешенных задач по математике

Примечания

A. ^ Ограничение на степень используется, но явно не указано в Smale (1981); оно явно указано, например, в Conte (2007). Ограничение необходимо. Без него гипотеза была бы ложной: многочлен f ( z ) = z не имеет критических точек.

Ссылки

1. Smale, S. (1981). "The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory" (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 4 (1): 1–36. doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14858-8 . Получено 23 октября 2017 г. .
2. Conte, A.; Fujikawa, E.; Lakic, N. (20 июня 2007 г.). «Гипотеза Смейла о среднем значении и коэффициенты одновалентных функций» (PDF) . Труды Американского математического общества . 135 (10): 3295–3300. doi : 10.1090/S0002-9939-07-08861-2 . Получено 23 октября 2017 г. .
3. Тишлер, Д. (1989). «Критические точки и значения комплексных многочленов». Журнал сложности . 5 (4): 438–456. doi :10.1016/0885-064X(89)90019-8.
4. Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего столетия» (PDF) .
5. Крейн, Э. (22 августа 2007 г.). «Граница для гипотезы Смейла о среднем значении для комплексных многочленов» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 39 (5): 781–791. doi :10.1112/blms/bdm063. S2CID  59416831 . Получено 23 октября 2017 г. .
6. Дубинин, В.; Сугава, Т. (2009). «Двойственная задача о среднем значении для комплексных многочленов». Труды Японской академии, Серия A, Математические науки . 85 (9): 135–137. arXiv : 0906.4605 . Bibcode :2009arXiv0906.4605D. doi :10.3792/pjaa.85.135. S2CID  12020364 . Получено 23 октября 2017 г. .
7. Ng, T.-W.; Zhang, Y. (2016). «Гипотеза Смейла о среднем значении для конечных произведений Блашке». The Journal of Analysis . 24 (2): 331–345. arXiv : 1609.00170 . Bibcode : 2016arXiv160900170N. doi : 10.1007/s41478-016-0007-4. S2CID  56272500.