Импеданс изображения

Импеданс изображения — это концепция, используемая при проектировании и анализе электронных сетей и особенно при проектировании фильтров. Термин «импеданс изображения» применяется к импедансу, наблюдаемому при взгляде на порт сети. Обычно подразумевается двухпортовая сеть , но эту концепцию можно распространить на сети с более чем двумя портами. Импеданс изображения для двухпортовой сети определяется импедансом Z _{i 1} , видимым при взгляде на порт 1, когда порт 2 оканчивается импедансом изображения Z _{i 2} для порта 2. В общем, импеданс изображения портов 1 и 2 не будут равны, если сеть не симметрична (или антисимметрична) относительно портов.

Части этой статьи или раздела основаны на знаниях читателя о представлении комплексного импеданса конденсаторов и катушек индуктивности , а также на знании представления сигналов в частотной области .

Вывод

Простая L-цепь с последовательным сопротивлением Z и шунтирующим сопротивлением Y. Показаны изображения импедансов Z _{i 1} и Z _{i 2.}

Показано, как Т-образная секция состоит из двух каскадно соединенных L-полусекций. Z _{i 2} обращен к Z _{i 2} , чтобы обеспечить согласование импедансов.

Показано, как секция «П» состоит из двух каскадно соединенных полусекций «L». Z _{i 1} обращен к Z _{i 1} , чтобы обеспечить согласование импедансов.

В качестве примера ниже приведен вывод импедансов изображения простой L-цепи. Сеть « L » состоит из последовательного импеданса Z и параллельного сопротивления Y.

Трудность здесь в том, что для того, чтобы найти Z _{i 1} , сначала необходимо терминировать порт 2 с помощью Z _{i 2} . Однако Z _{i 2} также является неизвестным на данном этапе. Проблема решается оконцеванием порта 2 идентичной сети: порт 2 второй сети соединяется с портом 2 первой сети, а порт 1 второй сети завершается Z _{i 1} . Вторая сеть завершает первую сеть в Z _{i 2} по мере необходимости. Математически это эквивалентно исключению одной переменной из набора одновременных уравнений. Теперь сеть можно решить для Z _{i 1} . Записав выражение для входного импеданса, получим:

${\displaystyle Z_{i1}=Z+{\frac {1}{2Y+{\frac {1}{Z+Z_{i1}}}}}}$

и решение для ${\displaystyle Z_{i1}\ ,}$

${\displaystyle Z_{i1}^{2}=Z^{2}+{\frac {Z}{Y}}}$

Z _{i 2} находится с помощью аналогичного процесса, но проще работать с точки зрения обратной величины, то есть проводимости изображения Y _{i 2} ,

${\displaystyle Y_{i2}^{2}=Y^{2}+{\frac {Y}{Z}}~.}$

Кроме того, из этих выражений видно, что два импеданса изображения связаны друг с другом соотношением:

${\displaystyle {\frac {Z_{i1}}{Y_{i2}}}={\frac {Z}{Y}}~.}$

Измерение

Непосредственное измерение импеданса изображения путем регулировки согласований неудобно итерационно и требует прецизионных регулируемых компонентов для воздействия на согласование. Альтернативный метод определения импеданса изображения порта 1 состоит в измерении импеданса короткого замыкания Z _SC (т. е. входного сопротивления порта 1, когда порт 2 закорочен) и импеданса холостого хода Z _OC (входное сопротивление порта 1, когда порт 2 закорочен). сопротивление порта 1, когда порт 2 разомкнут). Импеданс изображения тогда определяется выражением:

${\displaystyle Z_{i1}={\sqrt {Z_{\mathrm {SC} }Z_{\mathrm {OC} }}}}$

Этот метод не требует предварительного знания топологии измеряемой сети.

Использование в конструкции фильтра

При использовании в конструкции фильтра проанализированная выше L-сеть обычно называется полусекцией. Две полусекции в каскаде образуют либо Т-образную, либо П-образную секцию в зависимости от того, какой порт L-секции идет первым. Это приводит к тому, что терминология Z _{i T} означает Z _{i 1} в приведенном выше анализе, а Z _{i Π} означает Z _{i 2} .

Связь с характеристическим сопротивлением

Импеданс изображения — это понятие, аналогичное характеристическому импедансу , используемому при анализе линий передачи . Фактически, в предельном случае цепочки каскадных сетей, когда размер каждой отдельной сети приближается к бесконечно малому элементу, математическим пределом выражения импеданса изображения является характеристическое сопротивление цепи. То есть,

${\displaystyle Z_{i}^{2}\rightarrow {\frac {Z}{Y}}}$

Связь между ними можно дополнительно увидеть, отметив альтернативное, но эквивалентное определение импеданса изображения. В этом определении импеданс изображения сети — это входное сопротивление бесконечно длинной цепочки каскадно соединенных идентичных сетей (с портами, расположенными так, что одинаковые импедансы обращены к одинаковому). Это прямо аналогично определению характеристического сопротивления как входного сопротивления бесконечно длинной линии.

И наоборот, можно анализировать линию передачи с сосредоточенными компонентами, например линию, использующую нагрузочные катушки , с точки зрения фильтра импеданса изображения.

Функция передачи

Передаточная функция полусекции, как и импеданс изображения, рассчитывается для сети, оканчивающейся ее импедансами изображения (или, что то же самое, для одной секции в бесконечно длинной цепочке идентичных секций) и определяется выражением:

${\displaystyle A(i\omega )={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}e^{-\gamma }}$

где γ называется функцией передачи, функцией распространения или параметром передачи и определяется формулой:

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\sqrt {ZY}}}$

Этот термин представляет собой соотношение напряжений, которое наблюдалось бы, если бы максимальная доступная мощность передавалась от источника к нагрузке. Можно было бы включить этот термин в определение γ , и в некоторых трактовках используется этот подход. В случае сети с симметричными импедансами изображений, например цепочки из четного числа одинаковых L-секций, выражение сводится к ${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}}$

${\displaystyle A(i\omega )=e^{-\gamma }\,\!}$

В общем случае γ — комплексное число такое, что

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \,\!}$

Действительная часть γ представляет собой параметр затухания, α в неперах , а мнимая часть представляет собой параметр изменения фазы β в радианах . Параметры передачи для цепочки из n полусекций при условии, что одинаковые импедансы всегда направлены одинаково, определяются выражением;

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Как и в случае с импедансом изображения, параметры передачи приближаются к параметрам линии передачи, поскольку секция фильтра становится бесконечно малой, так что

${\displaystyle \gamma \rightarrow {\sqrt {ZY}}}$

при этом α , β , γ , Z и Y теперь измеряются на метр, а не на половину секции.

Связь с параметрами двухпортовой сети

Параметры ABCD

Для взаимной сети ( AD − BC =1 ) импедансы изображения могут быть выражены ^[1] через параметры ABCD как:

${\displaystyle Z_{I1}={\sqrt {\frac {AB}{CD}}}}$

${\displaystyle Z_{I2}={\sqrt {\frac {DB}{CA}}}}$.

Член распространения изображения γ может быть выражен как:

${\displaystyle \gamma =\cosh ^{-1}{\sqrt {AD}}}$.

Обратите внимание, что термин распространения изображения для сегмента линии передачи эквивалентен константе распространения линии передачи, умноженной на длину.

Смотрите также

• Фильтры с постоянным k
• фильтры, производные от m
• Итеративный импеданс
• характеристический импеданс

Рекомендации

1. Педро Л.Д. Перес, Карлос Р. де Соуза, Иванил С. Бонатти, «Матрица ABCD: уникальный инструмент для моделирования линейных двухпроводных линий передачи», Международный журнал электротехники и образования , том. 40, вып. 3, стр. 220–229, 2003 г., архивировано 4 марта 2016 г.

• Маттеи, Янг, Джонс. Микроволновые фильтры, схемы согласования импеданса и структуры связи. МакГроу-Хилл, 1964 г.