Система, не зависящая от времени

Динамическая система, системная функция которой не зависит напрямую от времени.

Блок-схема, иллюстрирующая инвариантность времени для детерминированной непрерывной системы с одним входом и одним выходом. Система инвариантна во времени тогда и только тогда, когда y ₂ ( t ) = y ₁ ( t – t ₀ ) для всего времени t , для всех действительных констант t ₀ и для всех входов x ₁ ( t ) . ^{[1] [2] [3]} Щелкните изображение, чтобы развернуть его.

В теории управления инвариантная во времени ( TI ) система имеет зависящую от времени системную функцию , которая не является прямой функцией времени. Такие системы рассматриваются как класс систем в области системного анализа . Зависящая от времени системная функция является функцией зависящей от времени входной функции . Если эта функция зависит от временной области только косвенно (через входную функцию, например), то это система, которая будет считаться инвариантной во времени. И наоборот, любая прямая зависимость от временной области системной функции может рассматриваться как «изменяющаяся во времени система».

Математически говоря, «инвариантность во времени» системы — это следующее свойство: ^{[4] : стр. 50}

Учитывая систему с зависящей от времени выходной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle y(t)}$ и зависящей от времени входной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle x(t)}$ , система будет считаться инвариантной ко времени, если временная задержка на входе ⁠ ⁠ ${\displaystyle x(t+\delta )}$ напрямую равна временной задержке выходной ⁠ ⁠ ${\displaystyle y(t+\delta )}$ функции. Например, если время ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ — это «истекшее время», то «инвариантность ко времени» подразумевает, что соотношение между входной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle x(t)}$ и выходной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle y(t)}$ является постоянным относительно времени ⁠ ⁠ ${\displaystyle t:}$

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).}$

На языке обработки сигналов это свойство может быть удовлетворено, если передаточная функция системы не является прямой функцией времени, за исключением случаев, когда она выражена входом и выходом.

В контексте системной схемы это свойство можно также сформулировать следующим образом, как показано на рисунке справа:

Если система не зависит от времени, то системный блок коммутирует с произвольной задержкой.

Если инвариантная во времени система также линейна , она является предметом линейной инвариантной во времени теории (линейной инвариантной во времени) с прямыми приложениями в спектроскопии ЯМР , сейсмологии , схемах , обработке сигналов , теории управления и других технических областях. Нелинейные инвариантные во времени системы не имеют всеобъемлющей, управляющей теории. Дискретные инвариантные во времени системы известны как инвариантные к сдвигу системы . Системы, которые не обладают свойством инвариантности во времени, изучаются как системы, изменяющиеся во времени .

Простой пример

Чтобы продемонстрировать, как определить, является ли система постоянной во времени, рассмотрим две системы:

• Система А: ${\displaystyle y(t)=tx(t)}$
• Система Б: ${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

Поскольку системная функция для системы A явно зависит от t вне , она не является инвариантной во времени , поскольку зависимость от времени не является явной функцией входной функции. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Напротив, зависимость системы B от времени является только функцией изменяющегося во времени входа . Это делает систему B инвариантной во времени . ${\displaystyle x(t)}$

Формальный пример ниже более подробно показывает, что, хотя система B является системой, инвариантной к сдвигу как функции времени t , система A таковой не является.

Формальный пример

Теперь представлено более формальное доказательство того, почему системы A и B различаются. Для выполнения этого доказательства будет использовано второе определение.

Система A: Начать с задержки ввода ${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )}$

Теперь задержите вывод на ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

Очевидно , что система не является инвариантной во времени. ${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

Система B: Начать с задержки ввода ${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )}$

Теперь задержите вывод на ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )}$

Очевидно , поэтому система неизменна во времени. ${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

В более общем смысле, соотношение между входом и выходом следующее:

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t),}$

и его изменение со временем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

Для систем, не зависящих от времени, свойства системы остаются неизменными со временем,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0.}$

Применимо к системам A и B выше:

${\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0}$в общем, поэтому он не является инвариантным во времени,

${\displaystyle f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0}$поэтому он не зависит от времени.

Абстрактный пример

Мы можем обозначить оператор сдвига как , где - это величина, на которую должен быть сдвинут набор индексов вектора . Например, система "advance-by-1" ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)}$

может быть представлено в этой абстрактной нотации как

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}}$

где функция задана как ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R} }$

с системой, дающей смещенный выходной сигнал

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R} }$

То же самое относится и к оператору, который увеличивает входной вектор на 1. ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$

Предположим, что мы представляем систему оператором . Эта система инвариантна во времени, если она коммутирует с оператором сдвига, т.е. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r}$

Если наше системное уравнение имеет вид

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}}$

тогда он инвариантен во времени, если мы можем применить системный оператор с последующим оператором сдвига , или мы можем применить оператор сдвига с последующим оператором сдвига , при этом оба вычисления дадут эквивалентные результаты. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Применение системного оператора в первую очередь дает

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

Применение оператора сдвига в первую очередь дает

${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}}$

Если система не зависит от времени, то

${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

Смотрите также

• Конечный импульсный отклик
• последовательность Шеффера
• Пространство состояний (элементы управления)
• График потока сигналов
• Теория системы LTI
• Автономная система (математика)

Ссылки

1. Бессай, Хорст Дж. (2005). Сигналы и системы MIMO . Springer. стр. 28. ISBN 0-387-23488-8.
2. Сандарараджан, Д. (2008). Практический подход к сигналам и системам . Wiley. стр. 81. ISBN 978-0-470-82353-8.
3. Робертс, Майкл Дж. (2018). Сигналы и системы: анализ с использованием методов преобразования и MATLAB® (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 132. ISBN 978-0-07-802812-0.
4. Оппенгейм, Алан; Вилски, Алан (1997). Сигналы и системы (второе изд.). Prentice Hall.