Дифракция Фраунгофера

Дифракция в дальнем поле

В оптике уравнение дифракции Фраунгофера используется для моделирования дифракции волн при падении плоских волн на дифрагирующий объект, причем дифракционная картина просматривается на достаточно большом расстоянии (расстоянии, удовлетворяющем условию Фраунгофера) от объекта (в дальней -область поля), а также когда на него смотрят в фокальной плоскости визуализирующей линзы . ^{[1] [2]} Напротив, дифракционная картина, создаваемая вблизи дифрагирующего объекта и (в ближней зоне поля ), определяется уравнением дифракции Френеля .

Уравнение было названо в честь Йозефа фон Фраунгофера ^[3] , хотя фактически он не принимал участия в разработке теории. ^{[ нужна цитата ]}

В этой статье объясняется, где можно применить уравнение Фраунгофера, и показаны дифракционные картины Фраунгофера для различных апертур. Подробное математическое описание дифракции Фраунгофера дано в уравнении дифракции Фраунгофера .

Уравнение

Пример дифракции Фраунгофера в дальнем поле для нескольких форм апертуры.

Когда луч света частично перекрывается препятствием, часть света рассеивается вокруг объекта, на краю тени часто видны светлые и темные полосы – этот эффект известен как дифракция . ^[4] Эти эффекты можно смоделировать с использованием принципа Гюйгенса-Френеля ; Гюйгенс постулировал, что каждая точка волнового фронта действует как источник сферических вторичных вейвлетов, и сумма этих вторичных вейвлетов определяет форму исходящей волны в любой последующий момент времени, в то время как Френель разработал уравнение, используя вейвлеты Гюйгенса вместе с принципом суперпозиции. волн, что достаточно хорошо моделирует эти дифракционные эффекты.

Как правило, нелегко вычислить амплитуду волны, заданную суммой вторичных вейвлетов (сумма волн также является волной), каждый из которых имеет свою собственную амплитуду , фазу и направление колебаний ( поляризацию ), поскольку это предполагает сложение из множества волн различной амплитуды, фазы и поляризации. Когда две световые волны как электромагнитные поля складываются вместе ( векторная сумма ), амплитуда суммы волн зависит от амплитуд, фаз и даже поляризации отдельных волн. В определенном направлении, где проецируются поля электромагнитных волн (или если рассматривать ситуацию, когда две волны имеют одинаковую поляризацию), две волны одинаковой (проецируемой) амплитуды , находящиеся в фазе (одной и той же фазе), дают амплитуду результирующей суммы волн как двойную амплитуды отдельных волн, в то время как две волны одинаковой амплитуды, находящиеся в противоположных фазах, дают нулевую амплитуду результирующей волны, поскольку они нейтрализуют друг друга. Как правило, необходимо решать двумерный интеграл по комплексным переменным, и во многих случаях аналитическое решение невозможно. ^[5]

Уравнение дифракции Фраунгофера представляет собой упрощенную версию формулы дифракции Кирхгофа , и его можно использовать для моделирования дифракции света, когда и источник света, и плоскость наблюдения (плоскость наблюдения, где наблюдается дифрагированная волна) фактически бесконечно удалены от дифрагирующей апертуры. . ^[6] При достаточно удаленном источнике света от дифрагирующей апертуры свет, падающий на апертуру, фактически представляет собой плоскую волну , так что фаза света в каждой точке апертуры одинакова. При достаточно удалении плоскости наблюдения от апертуры фаза волны, приходящей из каждой точки апертуры, изменяется линейно в зависимости от положения точки на апертуре, что приводит к вычислению суммы волн в точке наблюдения на плоскости апертуры. во многих случаях наблюдение относительно простое. В этом случае даже амплитуды вторичных волн, исходящих из апертуры в точке наблюдения, можно считать одинаковыми или постоянными для простого расчета дифракционных волн. Дифракция при таких геометрических требованиях называется дифракцией Фраунгофера , а условие, при котором действительна дифракция Фраунгофера, называется условием Фраунгофера , как показано в правом поле. ^[7] Дифрагированную волну часто называют дальним полем , если она хотя бы частично удовлетворяет условию Фраунгофера, так что расстояние между апертурой и плоскостью наблюдения составляет . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}}$

Например, если круглое отверстие диаметром 0,5 мм освещается лазерным светом с длиной волны 0,6 мкм, то дифракция Фраунгофера возникает, если расстояние просмотра превышает 1000 мм.

Вывод условия Фраунгофера

Геометрическая диаграмма, используемая для вывода условия Фраунгофера, при котором действительна дифракция Фраунгофера.

Вывод условия Фраунгофера здесь основан на геометрии, описанной в правом поле. ^[8] Путь r ₂ дифрагированной волны может быть выражен через другой путь r ₁ дифрагированной волны и расстояние b между двумя точками дифракции с использованием закона косинусов ;

$${\displaystyle {r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.}$$

Это можно расширить, вычислив ряд Тейлора выражения до второго порядка по , ${\displaystyle {\frac {b}{r_{1}}}}$

$${\displaystyle {r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}+b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.}$$

Разность фаз между волнами, распространяющимися по путям r ₂ и r ₁ , равна, с волновым числом, где λ - длина волны света,

$${\displaystyle k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .}$$

Если да , то разность фаз равна . Геометрический вывод из этого выражения состоит в том, что пути r ₂ и r ₁ примерно параллельны друг другу. Поскольку может существовать путь дифрагированной волны плоскость дифракции - плоскость наблюдения, угол которого по отношению к прямой, параллельной оптической оси, близок к 0, это условие аппроксимации можно дополнительно упростить: где L - расстояние между двумя плоскостями вдоль оптической оси ось. В связи с тем, что падающая волна на дифрагирующую плоскость фактически является плоской волной, если где L — расстояние между дифрагирующей плоскостью и точечным источником волны, выполняется условие Фраунгофера, где L — меньшее из двух расстояний, одно из них равно между дифрагирующей плоскостью и плоскостью наблюдения, а другой — между дифрагирующей плоскостью и точечным источником волн. ${\displaystyle k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi }$ ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1}$ ${\displaystyle kr_{2}-kr_{1}\approx -kb\sin \theta }$ ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$ ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$ ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$

Фокальная плоскость положительной линзы как плоскость дальнего поля.

Плоская волна, фокусируемая линзой.

В дальнем поле пути распространения вейвлетов от каждой точки апертуры до точки наблюдения примерно параллельны, а положительная линза (фокусирующая линза) фокусирует параллельные лучи по направлению к линзе в точку на фокальной плоскости (положение точки фокусировки в фокальной плоскости зависит от угла параллельных лучей относительно оптической оси). Итак, если после апертуры поместить положительную линзу с достаточно большим фокусным расстоянием (чтобы можно было пренебречь различиями в ориентациях электрического поля для вейвлетов в фокусе), то линза практически создает фраунгоферову дифракционную картину апертуры на своем фокусе. плоскости, когда параллельные лучи встречаются в фокусе. ^[9]

Примеры

В каждом из этих примеров апертура освещается монохроматической плоской волной при нормальном падении.

Дифракция на узкой прямоугольной щели.

График и изображение дифракции на одной щели

Ширина щели W. На изображении показана дифракционная картина Фраунгофера вместе с графиком зависимости интенсивности от угла θ . ^[10] Паттерн имеет максимальную интенсивность при θ = 0 и серию пиков уменьшающейся интенсивности. Большая часть дифрагированного света попадает между первыми минимумами. Угол α , образованный этими двумя минимумами, определяется по формуле: ^[11]

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}}$$

Таким образом, чем меньше апертура, тем больше угол α, охватываемый дифракционными полосами. Размер центральной полосы на расстоянии z определяется выражением

$${\displaystyle d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}}$$

Дифракционное стекло с 300 линиями на миллиметр.

Например, когда щель шириной 0,5 мм освещается светом с длиной волны 0,6 мкм и рассматривается на расстоянии 1000 мм, ширина центральной полосы на дифракционной картине составляет 2,4 мм.

Полосы простираются до бесконечности в направлении y , поскольку щель и освещение также простираются до бесконечности.

Если W < λ , интенсивность дифрагированного света не падает до нуля, а если D << λ , дифрагированная волна имеет цилиндрическую форму.

Полуколичественный анализ однощелевой дифракции

Геометрия однощелевой дифракции

Мы можем найти угол, при котором достигается первый минимум в дифрагированном свете, используя следующие рассуждения. Рассмотрим свет, дифрагированный под углом θ , где расстояние CD равно длине волны освещающего света. Ширина щели равна расстоянию AC . Компонента вейвлета, излучаемого из точки A, которая движется в направлении θ , находится в противофазе с волной из точки B в середине щели, так что чистый вклад этих двух волн под углом θ равен нулю. . То же самое относится и к точкам чуть ниже A и B и так далее. Следовательно, амплитуда полной волны, бегущей в направлении θ , равна нулю. У нас есть:

$${\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$$

Тогда угол, образуемый первыми минимумами по обе стороны от центра, будет таким же, как указано выше:

$${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$$

Не существует такого простого аргумента, который позволил бы нам найти максимумы дифракционной картины.

Дифракция на одной щели с использованием принципа Гюйгенса

Непрерывная поперечная решетка точечных источников длиной a .

Мы можем разработать выражение для дальнего поля непрерывной группы точечных источников одинаковой амплитуды и одной фазы. Пусть массив длиной a параллелен оси y с центром в начале координат, как показано на рисунке справа. Тогда дифференциальное поле будет: ^[12]

$${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy}$$

где . Однако и интегрируя от до , ${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle r_{1}=r-y\sin \theta }$ ${\displaystyle -a/2}$ ${\displaystyle a/2}$

$${\displaystyle E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy}$$

${\displaystyle A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}}$

Интегрируя, мы получаем

$${\displaystyle E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)}$$

Полагая , что длина массива в радианах равна , тогда ^[12] ${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$ ${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$

$${\displaystyle E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$$

Дифракция на прямоугольной апертуре

Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на прямоугольной апертуре

Форма дифракционной картины, заданная прямоугольной апертурой, показана на рисунке справа (или выше, в формате планшета). ^[13] Имеется центральный полупрямоугольный пик с рядом горизонтальных и вертикальных полос. Размеры центральной полосы связаны с размерами щели тем же соотношением, что и для одиночной щели, так что больший размер дифрагированного изображения соответствует меньшему размеру в щели. Расстояние между полосами также обратно пропорционально размеру щели.

Если освещающий луч не освещает всю вертикальную длину щели, расстояние между вертикальными полосами определяется размерами освещающего луча. Внимательное изучение дифракционной картины с двумя щелями ниже показывает, что существуют очень тонкие горизонтальные дифракционные полосы выше и ниже основного пятна, а также более очевидные горизонтальные полосы.

Дифракция на круглой апертуре

Компьютерное моделирование дифракционной картины Эйри

Дифракционная картина, создаваемая круглой апертурой, показана на рисунке справа. ^[14] Это известно как картина дифракции Эйри . Видно, что большая часть света находится в центральном диске. Угол, образуемый этим диском, известный как диск Эйри, равен

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}}$$

W

Диск Эйри может быть важным параметром, ограничивающим способность системы обработки изображений распознавать близко расположенные объекты.

Дифракция на апертуре с гауссовым профилем

Интенсивность плоской волны, дифрагировавшей через отверстие с гауссовым профилем

Дифракционная картина, полученная от апертуры с гауссовским профилем, например, от фотографического предметного стекла, коэффициент пропускания которого имеет гауссово изменение, также является функцией Гаусса. Вид функции показан справа (вверху для планшета), и видно, что в отличие от дифракционных картин, создаваемых прямоугольными или круглыми апертурами, она не имеет вторичных колец. ^[15] Этот метод можно использовать в процессе, называемом аподизацией : апертура закрывается фильтром Гаусса, создавая дифракционную картину без вторичных колец.

Выходной профиль одномодового лазерного луча может иметь гауссовский профиль интенсивности, и уравнение дифракции можно использовать, чтобы показать, что он сохраняет этот профиль, как бы далеко он ни распространялся от источника. ^[16]

Дифракция на двойной щели

Бахрома с двойной прорезью и натриевой подсветкой.

В эксперименте с двумя щелями две щели освещаются одним световым лучом. Если ширина щелей достаточно мала (меньше длины волны света), щели преломляют свет на цилиндрические волны. Эти два цилиндрических волновых фронта накладываются друг на друга, и амплитуда, а, следовательно, и интенсивность, в любой точке объединенных волновых фронтов зависит как от величины, так и от фазы двух волновых фронтов. ^[17] Эти полосы часто называют полосами Янга .

Угловое расстояние между полосами определяется выражением

$${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$$

Расстояние между полосами на расстоянии z от щелей определяется выражением ^[18]

$${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$$

d

Полосы на снимке были получены с использованием желтого света натриевого источника света (длина волны = 589 нм) с щелями, разделенными на 0,25 мм, и проецировались непосредственно на плоскость изображения цифровой камеры.

Двухщелевые интерференционные полосы можно наблюдать, прорезав две прорези в куске карты, осветив их лазерной указкой и наблюдая дифрагированный свет на расстоянии 1 м. Если расстояние между щелями составляет 0,5 мм, а длина волны лазера 600 нм, то расстояние между полосами, наблюдаемыми на расстоянии 1 м, составит 1,2 мм.

Полуколичественное объяснение двухщелевых полос

Геометрия для полос в дальней зоне

Разница в фазе между двумя волнами определяется разницей в расстоянии, пройденном двумя волнами.

Если расстояние просмотра велико по сравнению с расстоянием между щелями ( дальнее поле ), разность фаз можно найти с помощью геометрии, показанной на рисунке. Разность хода между двумя волнами, движущимися под углом θ , определяется выражением

$${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$$

Когда две волны находятся в фазе, т. е. разность хода равна целому числу длин волн, суммарная амплитуда и, следовательно, суммарная интенсивность максимальны, а когда они находятся в противофазе, т. е. разность хода равна половине длина волны, полторы длины волны и т. д., то две волны взаимно сокращаются, и суммарная интенсивность равна нулю. Этот эффект известен как интерференция .

Максимумы интерференционных полос располагаются под углами

$${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

λдлина

$${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$$

Когда расстояние между щелями и плоскостью просмотра равно z , расстояние между полосами равно zθ и такое же, как указано выше:

$${\displaystyle w=z\lambda /d.}$$

Дифракция на решетке

Дифракция лазерного луча на решетке

Решетка определяется Борном и Вольфом как «любое устройство, которое налагает на падающую волну периодическое изменение амплитуды или фазы, или того и другого».

Решетка, элементы которой разделены S , дифрагирует нормально падающий луч света на набор лучей под углами θ _n , определяемыми по формуле: ^[19]

$${\displaystyle ~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Это известно как уравнение решетки . Чем меньше шаг решетки, тем больше угловое разделение дифрагированных лучей.

Если свет падает под углом θ ₀ , уравнение решетки имеет вид:

$${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Детальная структура повторяющегося рисунка определяет форму отдельных дифрагированных лучей, а также их относительную интенсивность, в то время как шаг решетки всегда определяет углы дифрагированных лучей.

На изображении справа показан лазерный луч, дифрагированный решеткой на лучи n = 0 и ±1. Углы лучей первого порядка составляют около 20°; если предположить, что длина волны лазерного луча равна 600 нм, мы можем сделать вывод, что шаг решетки составляет около 1,8 мкм.

Полуколичественное объяснение

Простая решетка состоит из ряда щелей в экране. Если свет, распространяющийся под углом θ от каждой щели, имеет разность хода в одну длину относительно соседней щели, все эти волны складываются вместе, так что максимальная интенсивность дифрагированного света получается, когда:

$${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Это та самая зависимость, которая приведена выше.

Смотрите также

• Уравнение дифракции Фраунгофера
• Дифракция
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Формула дифракции Кирхгофа
• Дифракция Френеля
• Воздушный диск
• Фурье-оптика

Рекомендации

1. Рожденный и Вольф 1999, с. 427
2. Дженкинс и Уайт 1957, с. 288
3. "Фраунгофер, Йозеф фон (1787-1826) - из Мира научной биографии Эрика Вайсштейна" .
4. Небеса, ОС; Дитчберн, RW (1991). Знакомство с оптикой. Чичестер: Лонгман и сыновья. п. 62. ИСБН 0-471-92769-4. ОСЛК  22114471.
5. Рожденный и Вольф 1999, с. 425
6. Дженкинс и Уайт 1957, раздел 15.1, с. 288
7. Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2011). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 203. ИСБН 978-0-521-49345-1. ОСЛК  637708967.
8. Хехт, Юджин (2017). «Задача 9.21». Оптика (5-е изд.). Пирсон. п. 453. ИСБН 978-1-292-09693-3.
9. Хехт 2002, с. 448
10. Hecht 2002, рисунки 10.6 (b) и 10.7 (e)
11. Дженкинс и Уайт 1957, с. 297
12. Краус, Джон Дэниел; Мархефка, Рональд Дж. (2002). Антенны для любого применения. МакГроу-Хилл. ISBN 9780072321036.
13. Born & Wolf 1999, рисунок 8.10.
14. Born & Wolf 1999, рисунок 8.12.
15. Хехт 2002, рисунок 11.33.
16. Хехт 2002, рисунок 13.14.
17. Born & Wolf 1999, рисунок 7.4.
18. Hecht 2002, ур. (9.30).
19. Лонгхерст, RS (1967). Геометрическая и физическая оптика (2-е изд.). Лондон: Лонгманс. уравнение (12.1).

Источники

• Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в оптику Фурье (второе изд.). Сингапур: The McGraw-Hill Companies, Inc., с. 73. ИСБН 0-07-024254-2.
• Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-64222-4. ОСЛК  40200160.
• Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-321-18878-0. ОСЛК  47126713.
• Дженкинс, ФА; Уайт, HE (1957). Основы оптики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу Хилл.

Внешние ссылки

• Дифракция Фраунгофера на ScienceWorld
• Дифракция Фраунгофера в гиперфизике.