Кодомен

Функция $f$ от $X$ до $Y.$ Синий овал $Y$ $—$ область значений $f$ . Желтый овал внутри $Y$ — изображение f , а красный овал $X$ — область значений $f$ .

В математике область значений или множество назначения функции — это множество , в которое ограничены все выходные данные функции. Это множество $Y$ в записи $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ . Термин диапазон иногда неоднозначно используется для обозначения области значений или образа функции.

Область значений является частью функции $f,$ если $f$ определяется как тройка $(X, Y, G)$ , где $X$ называется областью значений f $,$ Y $—$ ее областью значений , а $G —$ ее графиком . ^[1] Множество всех элементов формы $f (x)$ , где $x$ пробегает элементы области значений $X$ , называется образом функции $f$ . Образ функции является подмножеством ее области значений, поэтому он может с ней не совпадать. А именно, функция, которая не является сюръективной, имеет элементы $y$ в своей области значений, для которых уравнение $f (x) = y$ не имеет решения.

Область значений не является частью функции $f,$ если $f$ определяется просто как график. ^[2]^[3] Например, в теории множеств желательно разрешить области значений функции быть собственным классом $X$ , в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка $(X, Y, G)$ . При таком определении функции не имеют области значений, хотя некоторые авторы все еще используют ее неформально после введения функции в форме $f : X \to Y.$ ^[4 ]

Примеры

Для функции

f\двоеточие \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

определяется

f\colon \,x\mapsto x^{2},

или эквивалентно

f(x)\ =\ x^{2},

область значений $f$ равна , но $f$ не отображается ни в одно отрицательное число. Таким образом, образ $f$ — это множество ; т.е. интервал $[0, \infty)$ . $\textstyle \mathbb {R}$ $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$

Альтернативная функция $g$ определяется следующим образом:

g\двоеточие \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}

g\colon \,x\mapsto x^{2}.

Хотя $f$ и $g$ отображают заданный $x$ в одно и то же число, с этой точки зрения они не являются одной и той же функцией, поскольку имеют разные области значений. Можно определить третью функцию $h , чтобы продемонстрировать, почему:$

h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.

Область определения $h$ не может быть определена как : $\textstyle \mathbb {R}$ $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$

h\двоеточие \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .

Композиции обозначены

h\circ f,

h\circ г.

При осмотре $h \circ f$ бесполезен. Верно, если не определено иное, что изображение $f$ неизвестно; известно только, что оно является подмножеством . По этой причине возможно, что $h$ , будучи составленным с $f$ , может получить аргумент, для которого не определен выход — отрицательные числа не являются элементами области определения $h$ , которая является функцией квадратного корня . $\textstyle \mathbb {R}$

Таким образом, функциональная композиция является полезным понятием только тогда, когда область значений функции в правой части композиции (а не ее изображение , которое является следствием функции и может быть неизвестно на уровне композиции) является подмножеством области значений функции в левой части.

Область значений влияет на то, является ли функция сюръекцией , то есть функция сюръективна тогда и только тогда, когда ее область значений равна ее образу. В этом примере $g$ является сюръекцией, а $f$ — нет. Область значений не влияет на то, является ли функция инъекцией .

Второй пример разницы между областью значений и образом демонстрируется линейными преобразованиями между двумя векторными пространствами — в частности, всеми линейными преобразованиями из в себя, которые могут быть представлены матрицами 2 $\times2$ с действительными коэффициентами. Каждая матрица представляет собой карту с областью значений и областью значений . Однако изображение неопределенно. Некоторые преобразования могут иметь изображение, равное всей области значений (в данном случае матрицы с рангом $2$ ), но многие этого не делают, вместо этого отображаясь в некоторое меньшее подпространство (матрицы с рангом $1$ или $0$ ). Возьмем, к примеру, матрицу $T,$ заданную как $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$

T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}

которая представляет собой линейное преобразование, которое отображает точку $(x, y)$ в $(x, x)$ . Точка $(2, 3)$ не находится в образе $T$ , но все еще находится в кодомене, поскольку линейные преобразования из в имеют явное значение. Как и все матрицы $2\times2 ,$ $T$ представляет собой член этого множества. Изучение различий между образом и кодоменом часто может быть полезным для обнаружения свойств рассматриваемой функции. Например, можно сделать вывод, что $T$ не имеет полного ранга, поскольку его образ меньше всей кодомены. $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$

Смотрите также

Биекция – взаимно-однозначное соответствие
Морфизм#Кодомен

Примечания

^ Бурбаки 1970, стр. 76
^ Бурбаки 1970, стр. 77
^ Форстер 2003, стр. 10–11
^ Eccles 1997, стр. 91 (цитата 1, цитата 2); Mac Lane 1998, стр. 8; Mac Lane, в Scott & Jech 1967, стр. 232; Sharma 2004, стр. 91; Stewart & Tall 1977, стр. 89

Ссылки

Бурбаки, Николя (1970). Теория ансамблей . Элементы математики. Спрингер. ISBN 9783540340348.
Эклс, Питер Дж. (1997), Введение в математическое мышление: числа, множества и функции , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
Форстер, Томас (2003), Логика, индукция и множества , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
Mac Lane, Saunders (1998), Категории для работающих математиков (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
Скотт, Дана С.; Джех, Томас Дж. (1967), Аксиоматическая теория множеств , Симпозиум по чистой математике, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0245-8
Шарма, AK (2004), Введение в теорию множеств , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
Стюарт, Ян ; Толл, Дэвид Орм (1977), Основы математики , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4