Интегральная область

Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от нуля

В математике область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю . ^{[1] [2]} Области целостности являются обобщениями кольца целых чисел и обеспечивают естественную среду для изучения делимости . В области целостности каждый ненулевой элемент a обладает свойством сокращения , то есть, если a ≠ 0 , равенство ab = ac влечет b = c .

«Область целостности» определяется почти универсально, как указано выше, но есть некоторые вариации. В этой статье принято соглашение о том, что кольца имеют мультипликативную идентичность , обычно обозначаемую 1, но некоторые авторы не следуют этому, не требуя, чтобы области целостности имели мультипликативную идентичность. ^{[3] [4]} Иногда допускаются некоммутативные области целостности. ^[5] В этой статье, однако, принято гораздо более распространенное соглашение о резервировании термина «область целостности» для коммутативного случая и использовании « области » для общего случая, включая некоммутативные кольца.

Некоторые источники, в частности Лэнг , используют термин « полное кольцо» для обозначения целостной области. ^[6]

Некоторые конкретные виды областей целостности даны со следующей цепочкой включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Целостная область — это ненулевое коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю. Эквивалентно:

• Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо без ненулевых делителей нуля .
• Область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым идеалом .
• Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент сокращается при умножении.
• Область целостности — это кольцо, множество ненулевых элементов которого является коммутативным моноидом относительно умножения (поскольку моноид должен быть замкнут относительно умножения).
• Целостная область — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента r функция, отображающая каждый элемент x кольца в произведение xr, является инъективной . Элементы r с этим свойством называются регулярными , поэтому это эквивалентно требованию, чтобы каждый ненулевой элемент кольца был регулярным.
• Область целостности — это кольцо, изоморфное подкольцу поля . ( Для области целостности можно вложить ее в поле дробей .)

Примеры

• Типичным примером является кольцо всех целых чисел . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Каждое поле является областью целостности. Например, поле всех действительных чисел является областью целостности. Наоборот, каждая артинова область целостности является полем. В частности, все конечные области целостности являются конечными полями (в более общем смысле, по малой теореме Веддерберна , конечные области являются конечными полями ). Кольцо целых чисел представляет собой пример неартиновой бесконечной области целостности, которая не является полем, обладающей бесконечными убывающими последовательностями идеалов, такими как: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Кольца многочленов являются целочисленными областями, если коэффициенты происходят из целочисленной области. Например, кольцо всех многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами является целочисленной областью; таковым является и кольцо всех многочленов от n -переменных с комплексными коэффициентами. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$
• Предыдущий пример можно использовать далее, взяв частные из простых идеалов. Например, кольцо, соответствующее плоской эллиптической кривой, является областью целостности. Целостность можно проверить, показав, что является неприводимым многочленом . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$ ${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$
• Кольцо является областью целостности для любого неквадратного целого числа . Если , то это кольцо всегда является подкольцом , в противном случае оно является подкольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• Кольцо целых p -адических чисел является областью целостности. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Кольцо формальных степенных рядов области целостности является областью целостности.
• Если — связное открытое подмножество комплексной плоскости , то кольцо, состоящее из всех голоморфных функций, является областью целостности. То же самое верно для колец аналитических функций на связных открытых подмножествах аналитических многообразий . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$
• Регулярное локальное кольцо — это целостная область. Фактически, регулярное локальное кольцо — это UFD . ^{[7] [8]}

Не примеры

Следующие кольца не являются целостными доменами.

• Нулевое кольцо (кольцо, в котором ). ${\displaystyle 0=1}$
• Кольцо частных, когда m — составное число . Действительно, выберем правильное разложение на множители (имея в виду, что и не равны или ). Тогда и , но . ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m=xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$
• Произведение двух ненулевых коммутативных колец. В таком произведении , имеем . ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$
• Кольцо частных для любого . Образы и не равны нулю, а их произведение равно 0 в этом кольце. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x+n}$ ${\displaystyle x-n}$
• Кольцо матриц n × n над любым ненулевым кольцом при n ≥ 2. Если и — матрицы такие , что образ содержится в ядре , то . Например, это происходит для . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MN=0}$ ${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$
• Фактор-кольцо для любого поля и любых непостоянных многочленов . Образы f и g в этом фактор-кольце являются ненулевыми элементами, произведение которых равно 0. Этот аргумент показывает, что эквивалентно, что не является простым идеалом . Геометрическая интерпретация этого результата состоит в том, что нули fg образуют аффинное алгебраическое множество , которое не является неприводимым (то есть не является алгебраическим многообразием ) в общем случае. Единственный случай, когда это алгебраическое множество может быть неприводимым, — это когда fg является степенью неприводимого многочлена , который определяет то же самое алгебраическое множество. ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (fg)}$
• Кольцо непрерывных функций на единичном интервале . Рассмотрим функции

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ни то, ни другое не везде равно нулю, но есть. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$

• Тензорное произведение . Это кольцо имеет два нетривиальных идемпотента , и . Они ортогональны, что означает, что , и, следовательно, не является областью. Фактически, существует изоморфизм, определяемый как . Его обратный элемент определяется как . Этот пример показывает, что послойное произведение неприводимых аффинных схем не обязательно должно быть неприводимым. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$ ${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$

Делимость, простые элементы и неприводимые элементы

В этом разделе R — область целостности.

Для элементов a и b из R говорят, что a делит b , или что a является делителем b , или что b кратно a , если существует элемент x из R, такой что ax = b .

Единицами R являются элементы, делящие 1; это как раз обратимые элементы в R. Единицы делят все остальные элементы.

Если a делит b, а b делит a , то a и b являются связанными элементами или ассоциатами . ^[9] Эквивалентно, a и b являются ассоциатами, если a = ub для некоторой единицы u .

Неприводимый элемент — это ненулевая неединица, которая не может быть записана в виде произведения двух неединиц.

Ненулевой неединичный элемент p является простым элементом , если всякий раз, когда p делит произведение ab , то p делит a или p делит b . Эквивалентно, элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал ( p ) является ненулевым простым идеалом .

Оба понятия — неприводимые элементы и простые элементы — обобщают обычное определение простых чисел в кольце, если рассматривать в качестве простых отрицательные простые числа. ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

Каждый простой элемент неприводим. Обратное в общем случае неверно: например, в квадратичном кольце целых чисел элемент 3 неприводим (если бы он факторизовался нетривиально, то каждый фактор должен был бы иметь норму 3, но нет элементов нормы 3, поскольку не имеет целочисленных решений), но не является простым (так как 3 делится без деления ни одного из факторов). В области уникальной факторизации (или, в более общем смысле, области НОД ) неприводимый элемент является простым элементом. ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$ ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$

Хотя в однозначное разложение не выполняется , существует однозначное разложение идеалов . См. теорему Ласкера–Нётер . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Характеристики

• Коммутативное кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал (0) кольца R является простым идеалом.
• Если R — коммутативное кольцо, а P — идеал в R , то фактор-кольцо R/P является областью целостности тогда и только тогда, когда P — простой идеал .
• Пусть R — область целостности. Тогда кольца полиномов над R (с любым числом неизвестных) являются областями целостности. Это, в частности, так, если R — поле .
• Свойство сокращения выполняется в любой целостной области: для любых a , b и c в целостной области, если a ≠ 0 и ab = ac , то b = c . Другой способ сформулировать это состоит в том, что функция x ↦ ax является инъективной для любого ненулевого a в области.
• Свойство сокращения справедливо для идеалов в любой целостной области: если xI = xJ , то либо x равен нулю, либо I = J.
• Целостная область равна пересечению своих локализаций в максимальных идеалах.
• Индуктивный предел областей целостности является областью целостности.
• Если A , B — области целостности над алгебраически замкнутым полем k , то A ⊗ _k B — область целостности. Это следствие nullstellensatz Гильберта ^[a] и в алгебраической геометрии подразумевает утверждение, что координатное кольцо произведения двух аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем снова является областью целостности.

Поле дробей

Поле дробей K области целостности R — это множество дробей a / b , где a и b из R , а b ≠ 0 по модулю соответствующего отношения эквивалентности, снабженное обычными операциями сложения и умножения. Это «наименьшее поле, содержащее R » в том смысле, что существует инъективный гомоморфизм колец R → K , такой что любой инъективный гомоморфизм колец из R в поле факторизуется через K. Поле дробей кольца целых чисел — это поле рациональных чисел . Поле дробей поля изоморфно самому полю. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Алгебраическая геометрия

Целостные области характеризуются условием, что они являются приведенными (то есть x ² = 0 влечет x = 0 ) и неприводимыми (то есть существует только один минимальный простой идеал ). Первое условие гарантирует, что нильрадикал кольца равен нулю, так что пересечение всех минимальных простых чисел кольца равно нулю. Последнее условие состоит в том, что кольцо имеет только один минимальный простой идеал. Из этого следует, что единственный минимальный простой идеал приведенного и неприводимого кольца является нулевым идеалом, поэтому такие кольца являются целостными областями. Обратное очевидно: целостная область не имеет ненулевых нильпотентных элементов, а нулевой идеал является единственным минимальным простым идеалом.

В алгебраической геометрии это означает, что координатное кольцо аффинного алгебраического множества является областью целостности тогда и только тогда, когда алгебраическое множество является алгебраическим многообразием .

В более общем смысле коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр является целочисленной аффинной схемой .

Характеристика и гомоморфизмы

Характеристикой области целостности является либо 0, либо простое число .

Если R — область целостности простой характеристики p , то эндоморфизм Фробениуса x ↦ x ^p является инъективным .

Смотрите также

• Норма Дедекинда–Хассе – дополнительная структура, необходимая для того, чтобы область целостности была главной
• Свойство нулевого продукта

Примечания

1. Доказательство: Сначала предположим, что A конечно порождена как k -алгебра и выберем k -базис B . Предположим (только конечное число ненулевое). Для каждого максимального идеала A рассмотрим кольцевой гомоморфизм . Тогда образ равен и, таким образом, либо или и, в силу линейной независимости, для всех или для всех . Поскольку является произвольным, мы имеем пересечение всех максимальных идеалов , где последнее равенство является равенством Nullstellensatz. Поскольку является простым идеалом, это означает, что либо или является нулевым идеалом; т. е. либо все являются нулевыми, либо все являются нулевыми. Наконец, A является индуктивным пределом конечно порожденных k -алгебр, которые являются областями целостности и, таким образом, используя предыдущее свойство, является областью целостности. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ ${\displaystyle f_{i},h_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\overline {h_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ ${\displaystyle =(0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B}$ ${\displaystyle \square }$

Цитаты

1. Бурбаки 1998, стр. 116
2. Даммит и Фут 2004, стр. 228
3. Ван дер Варден 1966, стр. 36
4. Херштейн 1964, стр. 88–90.
5. Макконнелл и Робсон
6. Лэнг 1993, стр. 91–92.
7. Аусландер и Буксбаум 1959
8. Нагата 1958
9. Дурбин 1993, стр. 224, «Элементы a и b [целостной области] называются ассоциированными , если a | b и b | a ».

Ссылки

• Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Математические тексты университета. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3.
• Бурбаки, Николя (1998). Алгебра, главы 1–3 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: Введение (3-е изд.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-51001-7.
• Херштейн, IN (1964), Темы по алгебре , Лондон: Blaisdell Publishing Company
• Хангерфорд, Томас В. (2013). Абстрактная алгебра: Введение (3-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том 211. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. МР  1878556.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1967). Алгебра . Нью-Йорк: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. МР  0214415.
• Макконнелл, Дж. К.; Робсон, Дж. К., Некоммутативные нётеровы кольца , Graduate Studies in Mathematics , т. 30, AMS
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Введение в групповые кольца . Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• Лански, Чарльз (2005). Понятия абстрактной алгебры . Книжный магазин АМС. ISBN 0-534-42323-X.
• Роуэн, Луис Халле (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.
• Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Cambridge University Press . ISBN 0-521-33718-6.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1966), Алгебра , том. 1, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag
• Auslander, M; Buchsbaum, DA (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 45 (5) (опубликовано в мае 1959 г.): 733–4. Bibcode :1959PNAS...45..733A. doi :10.1073/PNAS.45.5.733. ISSN  0027-8424. PMC  222624 . PMID  16590434. Zbl  0084.26504. Wikidata  Q24655880.
• Нагата, Масаёси (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями, II: раздельно порожденные расширения и регулярные локальные кольца». American Journal of Mathematics . 80 (2) (опубликовано в апреле 1958 г.): 382. doi :10.2307/2372791. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372791. Zbl  0089.26501. Wikidata  Q56049883.

Внешние ссылки

• «откуда взялся термин «целостная область»?».