Обобщенная симметрическая группа

Сплетение циклической группы m и симметрической группы n

В математике обобщенная симметрическая группа представляет собой сплетение циклической группы порядка m и симметрической группы порядка n . ${\displaystyle S(m,n):=Z_{m}\wr S_{n}}$

Примеры

• Ведь обобщенная симметрическая группа — это в точности обычная симметрическая группа: ${\displaystyle m=1,}$ ${\displaystyle S(1,n)=S_{n}.}$
• Так как можно рассматривать циклическую группу порядка 2 как позитивную и негативную ( ) и отождествлять обобщенную симметрическую группу со знаковой симметрической группой . ${\displaystyle m=2,}$ ${\displaystyle Z_{2}\cong \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle S(2,n)}$

Теория представления

Существует естественное представление элементов в виде обобщенных матриц перестановок , где ненулевые элементы являются корнями m -й степени из единицы : ${\displaystyle S(m,n)}$ ${\displaystyle Z_{m}\cong \mu _{m}.}$

Теория представлений изучалась с (Osima 1954); см. ссылки в (Can 1996). Как и в случае с симметрической группой, представления могут быть построены в терминах модулей Шпехта ; см. (Can 1996).

Гомология

Первая группа гомологии групп (конкретно, абелианизация ) имеет вид (для нечетного m она изоморфна ): факторы (которые все сопряжены, следовательно, должны отображаться тождественно в абелевой группе, поскольку сопряжение тривиально в абелевой группе) могут быть отображены в (конкретно, путем взятия произведения всех значений ), в то время как отображение знаков на симметрической группе дает Они независимы и порождают группу, следовательно, являются абелианизацией. ${\displaystyle Z_{m}\times Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{2m}}$ ${\displaystyle Z_{m}}$ ${\displaystyle Z_{m}}$ ${\displaystyle Z_{m}}$ ${\displaystyle Z_{2}.}$

Вторая группа гомологии (в классических терминах, множитель Шура ) определяется выражением (Дэвис и Моррис, 1974):

${\displaystyle H_{2}(S(2k+1,n))={\begin{cases}1&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

${\displaystyle H_{2}(S(2k+2,n))={\begin{cases}1&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что это зависит от n и четности m: и каковы множители Шура симметрической группы и знаковой симметрической группы. ${\displaystyle H_{2}(S(2k+1,n))\approx H_{2}(S(1,n))}$ ${\displaystyle H_{2}(S(2k+2,n))\approx H_{2}(S(2,n)),}$

Ссылки

• Дэвис, Дж. В.; Моррис, А. О. (1974), «Множитель Шура обобщенной симметрической группы», J. London Math. Soc. , 2, 8 (4): 615–620, doi :10.1112/jlms/s2-8.4.615
• Кан, Химмет (1996), «Представления обобщенных симметрических групп», Вклад в алгебру и геометрию , 37 (2): 289–307, CiteSeerX  10.1.1.11.9053
• Осима, М. (1954), «О представлениях обобщенной симметрической группы», Math. J. Okayama Univ. , 4 : 39–54