Обобщенный четырехугольник

Это структура инцидентности

GQ(2,2), Салфетка

В геометрии обобщенный четырехугольник — это структура инцидентности , главной особенностью которой является отсутствие каких-либо треугольников (но содержащая много четырехугольников). Обобщенный четырехугольник по определению является полярным пространством ранга два. Это обобщенные n-угольники с n = 4 и почти 2n-угольники с n = 2. Они также являются в точности частичными геометриями pg( s , t ,α) с α = 1.

Определение

Обобщенный четырехугольник — это структура инцидентности ( P , B ,I), где I ⊆ P × B — отношение инцидентности , удовлетворяющее некоторым аксиомам . Элементы P по определению являются точками обобщенного четырехугольника, элементы B — прямыми . Аксиомы следующие:

• Существует s ( s ≥ 1) такое, что на каждой прямой находится ровно s + 1 точек. На двух различных прямых находится не более одной точки.
• Существует t ( t ≥ 1) такое, что через каждую точку проходит ровно t + 1 прямых. Через две различные точки проходит не более одной прямой.
• Для каждой точки p, не лежащей на прямой L , существует единственная прямая M и единственная точка q , такие, что p лежит на M , а q — на M и L.

( s , t ) — параметры обобщенного четырехугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если s или t равны единице, обобщенный четырехугольник называется тривиальным . Например, сетка 3x3 с P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} является тривиальным GQ с s = 2 и t = 1. Обобщенный четырехугольник с параметрами ( s , t ) часто обозначается как GQ( s , t ).

Наименьшим нетривиальным обобщенным четырехугольником является GQ(2,2) , представление которого Стэн Пейн в 1973 году окрестил «салфеткой».

Характеристики

• ${\displaystyle |P|=(st+1)(s+1)}$
• ${\displaystyle |B|=(st+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle (s+t)|st(s+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}}$
• ${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}}$

Графики

Линейный график обобщенного четырехугольника GQ(2,4)

Из обобщенного четырехугольника можно получить два интересных графика.

• Граф коллинеарности, имеющий вершинами точки обобщенного четырехугольника, с коллинеарными точками, соединенными. Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), где (s,t) — порядок GQ.
• Граф инцидентности, вершинами которого являются точки и прямые обобщенного четырехугольника, и две вершины являются смежными, если одна из них является точкой, другая — прямой, и точка лежит на прямой. Граф инцидентности обобщенного четырехугольника характеризуется тем, что является связным двудольным графом с диаметром четыре и обхватом восемь. Следовательно, это пример клетки . Графы инцидентности конфигураций сегодня обычно называются графами Леви , но исходный граф Леви был графом инцидентности GQ(2,2).

Двойственность

Если ( P , B , I) — обобщенный четырехугольник с параметрами ( s , t ), то ( B , P , I ⁻¹ ), где I ^{−1 —} обратное отношение инцидентности, также является обобщенным четырехугольником. Это двойственный обобщенный четырехугольник . Его параметры — ( t , s ). Даже если s = t , двойственная структура не обязательно должна быть изоморфна исходной структуре.

Обобщенные четырехугольники с линиями размера 3

Существует ровно пять (возможно вырожденных) обобщенных четырехугольников, где каждая линия имеет три инцидентных ей точки, четырехугольник с пустым множеством линий, четырехугольник со всеми линиями, проходящими через фиксированную точку, соответствующий графу ветряной мельницы Wd(3,n) , сетка размером 3x3, четырехугольник GQ(2,2) и уникальный GQ(2,4). Эти пять четырехугольников соответствуют пяти корневым системам в классах ADE A _n , D _n , E ₆ , E ₇ и E ₈ , т. е. просто зашнурованным корневым системам. ^{[1] [2]}

Классические обобщенные четырехугольники

При рассмотрении различных случаев полярных пространств ранга не ниже трех и экстраполяции их до ранга 2 можно обнаружить следующие (конечные) обобщенные четырехугольники:

• Гиперболическая квадрика , параболическая квадрика и эллиптическая квадрика являются единственными возможными квадриками в проективных пространствах над конечными полями с проективным индексом 1. Найдем эти параметры соответственно: ${\displaystyle Q^{+}(3,q)}$ ${\displaystyle Q(4,q)}$ ${\displaystyle Q^{-}(5,q)}$

${\displaystyle Q(3,q):\ s=q,t=1}$ (это просто сетка)

${\displaystyle Q(4,q):\ s=q,t=q}$

${\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}}$

• Эрмитово многообразие имеет проективный индекс 1 тогда и только тогда, когда n равно 3 или 4. Находим: ${\displaystyle H(n,q^{2})}$

${\displaystyle H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q}$

${\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}}$

• Симплектическая полярность в имеет максимальное изотропное подпространство размерности 1 тогда и только тогда, когда . Здесь мы находим обобщенный четырехугольник , с . ${\displaystyle PG(2d+1,q)}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle W(3,q)}$ ${\displaystyle s=q,t=q}$

Обобщенный четырехугольник, полученный из , всегда изоморфен двойственному к , и они оба самодвойственны и, таким образом, изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда четно. ${\displaystyle Q(4,q)}$ ${\displaystyle W(3,q)}$ ${\displaystyle q}$

Неклассические примеры

• Пусть O будет гиперовалом в с q — четной степенью простого числа , и вложим эту проективную (дезаргову) плоскость в . Теперь рассмотрим структуру инцидентности , где все точки — это точки, не лежащие в , прямые — это те, которые не лежат в , пересекающиеся в точке O , а инцидентность — естественная. Это (q-1,q+1) -обобщенный четырехугольник. ${\displaystyle PG(2,q)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle T_{2}^{*}(O)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$
• Пусть q будет степенью простого числа (четного или нечетного) и рассмотрим симплектическую полярность в . Выберем произвольную точку p и определим . Пусть линии нашей структуры инцидентности будут всеми абсолютными прямыми, не лежащими на , вместе со всеми прямыми, проходящими через p , которые не лежат на , и пусть точки будут всеми точками из , за исключением тех, что находятся в . Инцидентность снова естественная. Мы снова получаем (q-1,q+1) -обобщенный четырехугольник ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle \pi =p^{\theta }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle PG(3,q)}$ ${\displaystyle \pi }$

Ограничения по параметрам

Используя сетки и двойные сетки, любое целое число z , z ≥ 1 допускает обобщенные четырехугольники с параметрами (1, z ) и ( z ,1). Кроме того, до сих пор были найдены возможными только следующие параметры, с q — произвольной степенью простого числа  :

${\displaystyle (q,q)}$

${\displaystyle (q,q^{2})}$и ${\displaystyle (q^{2},q)}$

${\displaystyle (q^{2},q^{3})}$и ${\displaystyle (q^{3},q^{2})}$

${\displaystyle (q-1,q+1)}$и ${\displaystyle (q+1,q-1)}$

Ссылки

1. Cameron PJ; Goethals, JM; Seidel, JJ; Shult, EE Линейные графики, корневые системы и эллиптическая геометрия
2. Брауэр, Андрис Э. "Обобщенные четырехугольники" (PDF) . Технический университет Эйндховена . Получено 2024-03-30 .

• SE Payne и JA Thas . Конечные обобщенные четырехугольники. Research Notes in Mathematics, 110. Pitman (Advanced Publishing Program), Бостон, Массачусетс, 1984. vi+312 стр. ISBN 0-273-08655-3 , ссылка http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ.pdf