Обобщенный круг

Понятие в геометрии, включая линию и окружность

В геометрии обобщенная окружность , иногда называемая клином или окружностью , ^[1] представляет собой прямую линию или окружность , кривые постоянной кривизны на евклидовой плоскости .

Естественным окружением для обобщенных окружностей является расширенная плоскость, плоскость с одной точкой на бесконечности, через которую, как считается, проходит каждая прямая линия. Если взять любые три различные точки в расширенной плоскости, то существует ровно одна обобщенная окружность, проходящая через все три.

Обобщенные окружности иногда появляются в евклидовой геометрии , которая имеет четко определенное понятие расстояния между точками, и где каждая окружность имеет центр и радиус: точка на бесконечности может считаться бесконечно удаленной от любой другой точки, а линия может рассматриваться как вырожденная окружность без четко определенного центра и с бесконечным радиусом (нулевая кривизна ). Отражение относительно линии является евклидовой изометрией (преобразованием, сохраняющим расстояние), которая отображает линии в линии и окружности в окружности; но инверсия в окружности не является таковой, искажая расстояния и отображая любую линию в окружность, проходящую через центр опорной окружности, и наоборот.

Однако обобщенные окружности являются основополагающими для инверсивной геометрии , в которой окружности и линии считаются неразличимыми, точка на бесконечности не отличается от любой другой точки, а понятия кривизны и расстояния между точками игнорируются. В инверсивной геометрии отражения, инверсии и, в более общем смысле, их композиции , называемые преобразованиями Мёбиуса , отображают обобщенные окружности в обобщенные окружности и сохраняют инверсные отношения между объектами.

Расширенную плоскость можно отождествить со сферой с помощью стереографической проекции . Тогда точка на бесконечности становится обычной точкой на сфере, а все обобщенные окружности становятся окружностями на сфере.

Расширенная комплексная плоскость

Окружность в комплексной плоскости, заданная как неявное уравнение относительно центра и радиуса

Расширенную евклидову плоскость можно отождествить с расширенной комплексной плоскостью , так что уравнения комплексных чисел можно использовать для описания линий, окружностей и инверсий.

Двумерное линейное уравнение

Окружность — это множество точек на плоскости, которые лежат на радиусе от центральной точки. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}}$

В комплексной плоскости , является комплексным числом и является набором комплексных чисел. Используя свойство, что комплексное число, умноженное на его сопряженное число , равно квадрату его модуля (его евклидова расстояния от начала координат), неявное уравнение для имеет вид: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

Это однородное двумерное линейное полиномиальное уравнение относительно комплексной переменной и ее сопряженной функции вида ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}},}$

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

где коэффициенты и являются действительными , а и являются комплексно сопряженными . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Разделив на и затем выполнив шаги, описанные выше, можно восстановить радиус и центр из любого уравнения этой формы. Уравнение представляет собой обобщенную окружность в плоскости, когда является действительным, что происходит, когда так что квадрат радиуса положителен. Когда является нулевым, уравнение определяет прямую линию. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle AD<BC}$ ${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

Комплексный обратный

То, что обратное преобразование отображает обобщенные окружности в обобщенные окружности, легко проверить: ${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

Линии, проходящие через начало координат ( ), ${\displaystyle A=D=0}$ отображаются в линии, проходящие через начало координат; линии, не проходящие через начало координат ( ), ${\displaystyle A=0,D\neq 0}$ отображаются в окружности, проходящие через начало координат; окружности, проходящие через начало координат ( ), ${\displaystyle A\neq 0,D=0}$ отображаются в линии, не проходящие через начало координат; а окружности, не проходящие через начало координат ( ), ${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$ отображаются в окружности, не проходящие через начало координат.

Комплексное матричное представление

Определяющее уравнение обобщенной окружности

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

можно записать как матричное уравнение

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

Символично,

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

с коэффициентами, помещенными в обратимую эрмитову матрицу, представляющую окружность, и вектор, представляющий расширенное комплексное число. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$

Две такие матрицы определяют одну и ту же обобщенную окружность тогда и только тогда, когда одна из них является скалярным кратным другой.

Для преобразования обобщенной окружности, представленной преобразованием Мёбиуса, применим обратное преобразование Мёбиуса к вектору в неявном уравнении: ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

поэтому новый круг можно представить матрицей ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$

Примечания

1. Хитчман, Майкл П. (2009). Геометрия с введением в космическую топологию. Джонс и Бартлетт. стр. 43.

Ссылки

• Ганс Швердтфегер , Геометрия комплексных чисел , Courier Dover Publications , 1979
• Майкл Хенле, «Современная геометрия: неевклидова, проективная и дискретная», 2-е издание, Prentice Hall , 2001 г.
• Дэвид В. Лайонс (2021) Геометрия Мёбиуса из LibreTexts