Обобщенный квантор

Выражение, обозначающее набор множеств в формальной семантике

В формальной семантике обобщенный квантор ( GQ ) — это выражение, обозначающее набор множеств . Это стандартная семантика, приписываемая количественным именным группам . Например, обобщенный квантор каждый мальчик обозначает множество множеств, членом которых является каждый мальчик:

$${\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}}$$

Такая обработка кванторов сыграла важную роль в достижении композиционной семантики предложений, содержащих кванторы. ^{[1] [2]}

Теория типов

Версия теории типов часто используется для явного определения семантики различных видов выражений. Стандартная конструкция рекурсивно определяет набор типов следующим образом:

1. e и t — типы.
2. Если a и b относятся к обоим типам, то и ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. Ничто не является типом, кроме того, что можно сконструировать на основе строк 1 и 2 выше.

Учитывая это определение, у нас есть простые типы e и t , а также счетное множество сложных типов, некоторые из которых включают:

$${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$$

• Выражения типа e обозначают элементы вселенной дискурса , набора сущностей, о которых идет речь. Этот набор обычно записывается как . Примеры выражений типа e включают John и he . ${\displaystyle D_{e}}$
• Выражения типа t обозначают значение истинности , обычно представленное в виде набора , где 0 означает «ложь», а 1 — «истина». Примерами выражений, которые иногда называют типа t, являются предложения или предложения . ${\displaystyle \{0,1\}}$
• Выражения типа обозначают функции от набора сущностей к набору значений истинности. Этот набор функций отображается как . Такие функции являются характеристическими функциями множеств . Они отображают каждую единицу, являющуюся элементом множества, как «истинную», а все остальное — как «ложную». Принято говорить, что они обозначают множества, а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последнее точнее. Примерами выражений этого типа являются предикаты , существительные и некоторые виды прилагательных . ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$ ${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• В общем, выражения сложных типов обозначают функции от набора сущностей типа к множеству сущностей типа , конструкцию мы можем записать следующим образом: . ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

Теперь мы можем присвоить типы словам в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.

• Тип(мальчик) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Тип(спит) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Тип(каждый) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$
• Тип(каждый мальчик) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

и поэтому мы видим, что обобщенный квантор в нашем примере имеет тип ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Таким образом, каждый обозначает функцию от множества к функции от множества к значению истинности. Другими словами, оно обозначает функцию от множества к множеству множеств. Это та функция, которая для любых двух множеств A,B каждый ( A ) ( B )= 1 тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle A\subseteq B}$

Типизированное лямбда-исчисление

Полезным способом написания сложных функций является лямбда-исчисление . Например, можно записать значение сна в виде следующего лямбда-выражения, которое является функцией от отдельного x до утверждения, что x спит .

$${\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}$$

xфункцию идентичности ${\displaystyle D_{e}}$

$${\displaystyle \lambda x.x}$$

Теперь мы можем записать значение каждого с помощью следующего лямбда-терма, где X,Y — переменные типа : ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$

$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}$$

Если мы сократим значение слов « мальчик и спит» как « Б » и « С » соответственно, мы получим, что предложение «каждый мальчик спит » теперь означает следующее:

$${\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)}$$

β-редукции

$${\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)}$$

$${\displaystyle B\subseteq S}$$

Выражение каждый является определителем . В сочетании с существительным оно дает обобщенный квантор типа . ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Характеристики

Монотонность

Монотонный рост GQ

Обобщенный квантор GQ называется монотонно возрастающим (также называемым влекущим вверх), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

если , то GQ( X ) влечет за собой GQ( Y ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

GQ каждого мальчика монотонно увеличивается. Например, набор вещей, которые работают быстро, является подмножеством множества вещей, которые работают . Таким образом, первое предложение ниже влечет за собой второе:

1. Каждый мальчик бегает быстро.
2. Каждый мальчик бежит.

Монотонно уменьшающиеся GQ

GQ называется монотонно убывающим (также называемым нисходящим ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

Если , то GQ( Y ) влечет за собой GQ( X ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Пример монотонного уменьшения GQ — no boy . Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.

1. Ни один мальчик не убегает.
2. Ни один мальчик не бегает быстро.

Лямбда-член для определителя № следующий. Он говорит, что два множества имеют пустое пересечение .

$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset }$$

предмет с отрицательной полярностьюлюбой

1. Хорошо: Ни у одного мальчика нет денег .
2. Плохо: *У каждого мальчика есть деньги .

Немонотонные GQ

GQ называется немонотонным, если он не монотонно возрастает и не монотонно убывает. Пример такого GQ — ровно три мальчика . Ни одно из следующих предложений не влечет за собой другое.

1. Бежали ровно три студента.
2. Ровно трое студентов быстро побежали.

Первое предложение не влечет за собой второе. Тот факт, что число бегущих студентов равно трем, не означает, что каждый из этих студентов бежал быстро , поэтому число бегущих студентов может быть меньше трех. И наоборот, второе предложение не влечет за собой первое. Предложение , что ровно три ученика бежали быстро, может быть истинным, даже если число учеников, которые просто бежали (т. е. не так быстро), больше 3.

Лямбда-терм для (комплексного) определителя ровно три следующий. Он говорит, что мощность пересечения двух множеств равна 3.

$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$$

Консервативность

Определитель D называется консервативным, если имеет место следующая эквивалентность:

$${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$

1. Каждый мальчик спит.
2. Каждый мальчик – мальчик, который спит.

Было высказано предположение, что все определители в каждом естественном языке являются консервативными. ^[2] Выражение только не является консервативным. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле не принято анализировать только как определяющий фактор . Скорее, оно обычно рассматривается как наречие, чувствительное к фокусу .

1. Спят только мальчики.
2. Только мальчики — мальчики, которые спят.

Смотрите также

• Область применения (формальная семантика)
• Квантор Линдстрема
• Квантор ветвления

Рекомендации

1. Монтегю, Ричард (1974). «Правильное обращение с количественной оценкой на английском языке». В Куласе, Дж.; Фетцер, Дж. Х.; Рэнкин, Т.Л. (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. Том. 2. Спрингер, Дордрехт. стр. 141–162. дои : 10.1007/978-94-009-2727-8_7. ISBN 978-94-010-7726-2.
2. Барвайз, Джон ; Купер, Робин (1981). «Обобщенные кванторы и естественный язык». Языкознание и философия . 4 (2): 159–219. дои : 10.1007/BF00350139.

дальнейшее чтение

• Стэнли Питерс; Даг Вестерстол (2006). Кванторы в языке и логике . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-929125-0.
• Антонио Бадиа (2009). Кванторы в действии: обобщенная квантификация в запросах, логических и естественных языках . Спрингер. ISBN 978-0-387-09563-9.
• Вонгиэль М (2021). Субатомное количественное определение (pdf) . Берлин: Language Science Press. дои : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.

Внешние ссылки

• Даг Вестерстол, 2011. «Обобщенные квантификаторы». Стэнфордская энциклопедия философии .