Обобщенная комплексная структура

Свойство дифференциального многообразия, включающего в себя сложные структуры

В области математики , известной как дифференциальная геометрия , обобщенная комплексная структура — это свойство дифференциального многообразия , которое включает в себя в качестве частных случаев комплексную структуру и симплектическую структуру . Обобщенные комплексные структуры были введены Найджелом Хитчином в 2002 году и далее развиты его учениками Марко Гуальтиери и Джилом Кавальканти.

Эти структуры впервые возникли в программе Хитчина по описанию геометрических структур с помощью функционалов дифференциальных форм , связи, которая легла в основу предложения Роберта Дейкграафа , Сергея Гукова , Эндрю Нейцке и Кумруна Вафы 2004 года о том, что топологические теории струн являются частными случаями топологической М-теории . Сегодня обобщенные комплексные структуры также играют ведущую роль в физической теории струн , поскольку суперсимметричные компактификации потоков , связывающие 10-мерную физику с 4-мерными мирами, такими как наш, требуют (возможно, скрученных) обобщенных комплексных структур.

Определение

Обобщенное касательное расслоение

Рассмотрим N -многообразие M. Касательное расслоение M , которое будет обозначаться T , является векторным расслоением над M , слои которого состоят ^из всех касательных векторов к M. Сечение T является векторным полем на M. Кокасательное расслоение M , обозначаемое T * , является векторным расслоением над M , сечения которого являются одноформами на M.

В комплексной геометрии рассматриваются структуры на касательных расслоениях многообразий. В симплектической геометрии вместо этого интересуются внешними степенями кокасательного расслоения. Обобщенная геометрия объединяет эти два поля, рассматривая сечения обобщенного касательного расслоения , которое является прямой суммой касательного и кокасательного расслоений, которые являются формальными суммами векторного поля и одной формы. ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

Волокна наделены естественным внутренним произведением с сигнатурой ( N ,  N ). Если X и Y — векторные поля, а ξ и η — одномерные формы, то внутреннее произведение X+ξ и Y+η определяется как

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

Обобщенная почти комплексная структура — это просто почти комплексная структура обобщенного касательного расслоения, которая сохраняет естественный скалярный продукт:

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

таким образом, что и ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}$

Как и в случае обычной почти комплексной структуры , обобщенная почти комплексная структура однозначно определяется своим собственным расслоением , т.е. подрасслоением комплексифицированного обобщенного касательного расслоения, заданного формулой ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}$

Такое подрасслоение L удовлетворяет следующим свойствам:

1. пересечение с его комплексно сопряженным сечением является нулевым сечением: ; ${\displaystyle L\cap {\overline {L}}=0}$
2. L максимально изотропен , т.е. его комплексный ранг равен N и для всех ${\displaystyle \langle \ell ,\ell '\rangle =0}$ ${\displaystyle \ell ,\ell '\in L.}$

Наоборот, любое подрасслоение L, удовлетворяющее (i), (ii), является -собственным расслоением единственной обобщенной почти комплексной структуры, так что свойства (i), (ii) можно рассматривать как альтернативное определение обобщенной почти комплексной структуры. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

скобка Куранта

В обычной комплексной геометрии почти комплексная структура интегрируема в комплексную структуру тогда и только тогда, когда скобка Ли двух сечений голоморфного подрасслоения является другим сечением голоморфного подрасслоения.

В обобщенной комплексной геометрии интерес представляют не векторные поля, а формальные суммы векторных полей и ун-форм. Разновидность скобок Ли для таких формальных сумм была введена в 1990 году и называется скобкой Куранта , которая определяется как

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

где — производная Ли вдоль векторного поля X , d — внешняя производная , а i — внутреннее произведение . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

Определение

Обобщенная комплексная структура — это обобщенная почти комплексная структура, такая что пространство гладких сечений L замкнуто относительно скобки Куранта.

Максимальные изотропные подрасслоения

Классификация

Существует взаимно-однозначное соответствие между максимальным изотропным подрасслоением и парами , где E является подрасслоением T и является 2-формой. Это соответствие напрямую распространяется на комплексный случай. ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

По паре можно построить максимально изотропное подрасслоение следующим образом . Элементы подрасслоения являются формальными суммами , где векторное поле X является сечением E , а одноформа ξ, ограниченная на сопряженное пространство , равна одноформе ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon (X).}$

Чтобы увидеть, что является изотропным, обратите внимание, что если Y является сечением E и ограничено, то как часть, ортогональная к аннигилирует Y. Поэтому, если и являются сечениями, то ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon (X)}$ ${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle Y+\eta }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

и поэтому изотропен. Кроме того, является максимальным, поскольку существуют (комплексные) размерности выбора для и не ограничен на дополнение , которое имеет (комплексную) размерность Таким образом, общая (комплексная) размерность в n . Гвалтьери доказал, что все максимальные изотропные подрасслоения имеют вид для некоторых и ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$ ${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Тип

Тип максимального изотропного подрасслоения — это действительная размерность подрасслоения, которое аннулирует E . Эквивалентно это 2 N минус действительная размерность проекции на касательное расслоение T . Другими словами, тип максимального изотропного подрасслоения — это коразмерность его проекции на касательное расслоение. В комплексном случае используется комплексная размерность, а тип иногда называют комплексным типом . В то время как тип подрасслоения в принципе может быть любым целым числом от 0 до 2 N , обобщенные почти комплексные структуры не могут иметь тип больше N , поскольку сумма подрасслоения и его комплексного сопряжения должна быть полностью ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

Тип максимального изотропного подрасслоения инвариантен относительно диффеоморфизмов , а также относительно сдвигов B-поля , которые являются изометриями вида ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

где B — произвольная замкнутая 2-форма, называемая в литературе по теории струн B-полем .

Тип обобщенной почти комплексной структуры в общем случае не является постоянным, он может прыгать на любое четное целое число . Однако он полунепрерывен сверху , что означает, что каждая точка имеет открытую окрестность, в которой тип не увеличивается. На практике это означает, что подмножества большего типа, чем объемлющий тип, встречаются на подмногообразиях с положительной коразмерностью .

Реальный индекс

Действительный индекс r максимального изотропного подпространства L — это комплексная размерность пересечения L с его комплексно сопряженным. Максимальное изотропное подпространство является обобщенной почти комплексной структурой тогда и только тогда, когда r = 0. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Канонический комплект

Как и в случае обычной комплексной геометрии, существует соответствие между обобщенными почти комплексными структурами и комплексными линейными расслоениями . Комплексное линейное расслоение, соответствующее конкретной обобщенной почти комплексной структуре, часто называют каноническим расслоением , поскольку оно обобщает каноническое расслоение в обычном случае. Иногда его также называют чистым спинорным расслоением, поскольку его сечения являются чистыми спинорами .

Обобщенные почти сложные структуры

Каноническое расслоение является одномерным комплексным подрасслоением расслоения комплексных дифференциальных форм на M. Напомним, что гамма-матрицы определяют изоморфизм между дифференциальными формами и спинорами. В частности, четные и нечетные формы отображаются в две хиральности спиноров Вейля . Векторы оказывают действие на дифференциальные формы, заданные внутренним произведением. Единичные формы оказывают действие на формы, заданные произведением клиньев. Таким образом, сечения расслоения действуют на дифференциальные формы. Это действие является представлением действия алгебры Клиффорда на спинорах. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Говорят, что спинор является чистым спинором , если он уничтожается половиной набора из набора генераторов алгебры Клиффорда. Спиноры являются сечениями нашего расслоения , а генераторы алгебры Клиффорда являются волокнами нашего другого расслоения Таким образом, заданный чистый спинор уничтожается полумерным подрасслоением E из Такие подрасслоения всегда изотропны, поэтому для определения почти комплексной структуры нужно только потребовать, чтобы сумма E и его комплексного сопряжения была всем из Это верно всякий раз, когда произведение клина чистого спинора и его комплексного сопряжения содержит компоненту высшей размерности. Такие чистые спиноры определяют обобщенные почти комплексные структуры. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

Учитывая обобщенную почти комплексную структуру, можно также определить чистый спинор с точностью до умножения на произвольную комплексную функцию . Эти выборы чистых спиноров определяются как сечения канонического расслоения.

Интегрируемость и другие структуры

Если чистый спинор, определяющий конкретную комплексную структуру, замкнут , или, в более общем случае, если его внешняя производная равна действию гамма-матрицы на себя, то почти комплексная структура интегрируема, и поэтому такие чистые спиноры соответствуют обобщенным комплексным структурам.

Если дополнительно предположить, что каноническое расслоение голоморфно тривиально, то есть именно глобальные сечения являются замкнутыми формами, то оно определяет обобщенную структуру Калаби-Яу, и говорят, что M является обобщенным многообразием Калаби-Яу .

Местная классификация

Канонический комплект

Локально все чистые спиноры можно записать в той же форме, в зависимости от целого числа k , B-полевой 2-формы B , невырожденной симплектической формы ω и k -формы Ω. В локальной окрестности любой точки чистый спинор Φ, который порождает каноническое расслоение, всегда можно представить в виде

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

где Ω разложимо как клиновое произведение одноформ.

Регулярная точка

Определим подрасслоение E комплексифицированного касательного расслоения как проекцию голоморфного подрасслоения L в В определении обобщенной почти комплексной структуры мы установили, что пересечение L и его сопряженной содержит только начало координат, в противном случае они не смогли бы охватывать все Однако пересечение их проекций не обязательно должно быть тривиальным. В общем случае это пересечение имеет вид ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

для некоторого подрасслоения Δ. Точка, имеющая открытую окрестность , в которой размерность слоев Δ постоянна, называется регулярной точкой .

Теорема Дарбу

Каждая регулярная точка в обобщенном комплексном многообразии имеет открытую окрестность, которая после диффеоморфизма и сдвига B-поля имеет ту же самую обобщенную комплексную структуру, что и декартово произведение комплексного векторного пространства и стандартного симплектического пространства со стандартной симплектической формой, которая является прямой суммой двух на две недиагональные матрицы с элементами 1 и −1. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$

Локальная голоморфность

Вблизи нерегулярных точек вышеуказанная теорема классификации неприменима. Однако, около любой точки обобщенное комплексное многообразие является, с точностью до диффеоморфизма и B-поля, произведением симплектического многообразия на обобщенное комплексное многообразие, которое имеет комплексный тип в точке, во многом подобно теореме Вайнштейна для локальной структуры многообразий Пуассона . Остающийся вопрос локальной структуры: как выглядит обобщенная комплексная структура вблизи точки комплексного типа? Фактически, она будет индуцирована голоморфной структурой Пуассона .

Примеры

Комплексные многообразия

Пространство комплексных дифференциальных форм имеет операцию комплексного сопряжения, заданную комплексным сопряжением в Это позволяет определить голоморфные и антиголоморфные однократные формы и ( m , n )-формы, которые являются однородными многочленами в этих однократных формах с m голоморфными множителями и n антиголоморфными множителями. В частности, все ( n , 0)-формы связаны локально умножением на комплексную функцию и, таким образом, образуют комплексное линейное расслоение. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

( n , 0)-формы являются чистыми спинорами, поскольку они аннулируются антиголоморфными касательными векторами и голоморфными один-формами. Таким образом, это линейное расслоение может быть использовано как каноническое расслоение для определения обобщенной комплексной структуры. Ограничивая аннулятор из до комплексифицированного касательного расслоения, получаем подпространство антиголоморфных векторных полей. Следовательно, эта обобщенная комплексная структура на определяет обычную комплексную структуру на касательном расслоении. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Поскольку только половина базиса векторных полей голоморфна, эти комплексные структуры имеют тип N. Фактически комплексные многообразия и многообразия, полученные путем умножения чистого спинорного расслоения, определяющего комплексное многообразие, на комплексную, -замкнутую (2,0)-форму, являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа N. ${\displaystyle \partial }$

Симплектические многообразия

Чистый спинорный пучок, порожденный

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

для невырожденной двумерной формы ω определяет симплектическую структуру на касательном пространстве. Таким образом, симплектические многообразия также являются обобщенными комплексными многообразиями.

Вышеуказанный чистый спинор глобально определен, и поэтому каноническое расслоение тривиально. Это означает, что симплектические многообразия являются не только обобщенными комплексными многообразиями, но и фактически обобщенными многообразиями Калаби-Яу.

Чистый спинор связан с чистым спинором, который является просто числом, посредством мнимого сдвига B-поля, который является сдвигом формы Кэлера . Следовательно, эти обобщенные комплексные структуры имеют тот же тип, что и соответствующие скалярному чистому спинору. Скаляр уничтожается всем касательным пространством, и поэтому эти структуры имеют тип 0 . ${\displaystyle \phi }$

С точностью до сдвига B-поля, который соответствует умножению чистого спинора на экспоненту замкнутой действительной 2-формы, симплектические многообразия являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа 0. Многообразия, которые являются симплектическими с точностью до сдвига B-поля, иногда называются B-симплектическими .

Отношение к G-структурам

Некоторые из почти структур в обобщенной комплексной геометрии можно перефразировать на языке G-структур . Слово «почти» удаляется, если структура интегрируема.

Расслоение с указанным выше скалярным произведением является структурой O(2 n , 2 n ) . Обобщенная почти комплексная структура является сведением этой структуры к структуре U( n , n ) . Следовательно, пространство обобщенных комплексных структур является смежным классом ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}$

Обобщенная почти кэлерова структура — это пара коммутирующих обобщенных комплексных структур, таких, что минус произведение соответствующих тензоров является положительно определенной метрикой на Обобщенные кэлеровы структуры являются редукциями структурной группы к обобщенным кэлеровым многообразиям, а их скрученные аналоги эквивалентны биэрмитовым многообразиям, открытым Сильвестром Джеймсом Гейтсом , Крисом Халлом и Мартином Рочеком в контексте двумерных суперсимметричных квантовых теорий поля в 1984 году. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle U(n)\times U(n).}$

Наконец, обобщенная почти метрическая структура Калаби-Яу представляет собой дальнейшее сведение структурной группы к ${\displaystyle SU(n)\times SU(n).}$

Калаби против метрики Калаби – Яу

Обратите внимание, что обобщенная метрическая структура Калаби, введенная Марко Гуальтиери, является более сильным условием, чем обобщенная структура Калаби–Яу, введенная Найджелом Хитчином . В частности, обобщенная метрическая структура Калаби–Яу подразумевает существование двух коммутирующих обобщенных почти комплексных структур.

Ссылки

• Хитчин, Найджел (2003). «Обобщенные многообразия Калаби-Яу». Quarterly Journal of Mathematics . 54 (3): 281–308. doi :10.1093/qmath/hag025.
• Гуалтьери, Марко (2004). Обобщенная комплексная геометрия (кандидатская диссертация). arXiv : math.DG/0401221 .
• Гуалтьери, Марко (2011). «Обобщенная комплексная геометрия». Annals of Mathematics . (2). 174 (1): 75–123. arXiv : 0911.0993 . doi : 10.4007/annals.2011.174.1.3 .
• Гранья, Мариана (2006). «Компактификации потоков в теории струн: всесторонний обзор». Phys. Rep . 423 (3): 91–158. arXiv : hep-th/0509003 . doi :10.1016/j.physrep.2005.10.008. S2CID  119508517.
• Dijkgraaf, Robbert ; Gukov, Sergey ; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теорий гравитации». Advances in Theoretical and Mathematical Physics . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . doi : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 .