Слабый раствор

Математическое решение

В математике слабое решение (также называемое обобщенным решением ) обыкновенного или частного дифференциального уравнения — это функция , для которой не все производные могут существовать, но которая, тем не менее, считается удовлетворяющей уравнению в некотором точно определенном смысле. Существует много различных определений слабого решения, подходящих для разных классов уравнений. Одно из самых важных основано на понятии распределений .

Избегая языка распределений, начинают с дифференциального уравнения и переписывают его таким образом, чтобы не появлялись никакие производные решения уравнения (новая форма называется слабой формулировкой , а ее решения называются слабыми решениями). Несколько удивительно, что дифференциальное уравнение может иметь решения, которые не являются дифференцируемыми , и слабая формулировка позволяет находить такие решения.

Слабые решения важны, поскольку многие дифференциальные уравнения, встречающиеся при моделировании явлений реального мира, не допускают достаточно гладких решений, и единственный способ решения таких уравнений — использовать слабую формулировку. Даже в ситуациях, когда уравнение имеет дифференцируемые решения, часто бывает удобно сначала доказать существование слабых решений и только потом показать, что эти решения на самом деле достаточно гладкие.

Конкретный пример

В качестве иллюстрации концепции рассмотрим волновое уравнение первого порядка :

где u = u ( t , x ) — функция двух действительных переменных. Чтобы косвенно проверить свойства возможного решения u , его интегрируют с произвольной гладкой функцией компактного носителя , известной как тестовая функция, принимая ${\displaystyle \varphi \,\!}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt}$

Например, если — гладкое распределение вероятностей, сосредоточенное вблизи точки , то интеграл приблизительно равен . Обратите внимание, что хотя интегралы идут от до , они по сути находятся в конечном поле, где не равно нулю. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })}$ ${\displaystyle u(t_{\circ },x_{\circ })}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \varphi }$

Итак, предположим, что решение u непрерывно дифференцируемо на евклидовом пространстве R ² , умножим уравнение ( 1 ) на тестовую функцию (гладкую с компактным носителем) и проинтегрируем: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

Используя теорему Фубини , которая позволяет менять порядок интегрирования, а также интегрирование по частям (по t для первого члена и по x для второго члена), это уравнение принимает вид:

(Граничные члены исчезают, поскольку равен нулю вне конечного ящика.) Мы показали, что уравнение ( 1 ) влечет уравнение ( 2 ), если u непрерывно дифференцируемо. ${\displaystyle \varphi }$

Ключ к концепции слабого решения заключается в том, что существуют функции u , которые удовлетворяют уравнению ( 2 ) для любого , но такие u могут быть недифференцируемыми и, следовательно, не могут удовлетворять уравнению ( 1 ). Примером является u ( t , x ) = | t − x | , что можно проверить, разделив интегралы по областям x ≥ t и x ≤ t , где u является гладким, и обратив приведенное выше вычисление с помощью интегрирования по частям. Слабое решение уравнения ( 1 ) означает любое решение u уравнения ( 2 ) по всем тестовым функциям . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Общий случай

Общая идея, которая следует из этого примера, заключается в том, что при решении дифференциального уравнения относительно u его можно переписать с использованием тестовой функции , так что любые производные по u, появляющиеся в уравнении, «передаются» посредством интегрирования по частям в , что приводит к уравнению без производных от u . Это новое уравнение обобщает исходное уравнение, включая решения, которые не обязательно дифференцируемы. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Подход, проиллюстрированный выше, работает в большой общности. Действительно, рассмотрим линейный дифференциальный оператор в открытом множестве W в R ⁿ :

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),}$

где мультииндекс ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) изменяется на некотором конечном множестве в N ⁿ , а коэффициенты являются достаточно гладкими функциями x в R ⁿ . ${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}$

Дифференциальное уравнение P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 после умножения на гладкую тестовую функцию с компактным носителем в W и интегрирования по частям можно записать в виде ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

где дифференциальный оператор Q ( x , ∂ ) задается формулой

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$

Число

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$

появляется потому, что для переноса всех частных производных из u в в каждом члене дифференциального уравнения требуется α ₁ + α ₂ + ⋯ + α _n интегрирований по частям , а каждое интегрирование по частям влечет за собой умножение на −1. ${\displaystyle \varphi }$

Дифференциальный оператор Q ( x , ∂ ) является формально сопряженным к P ( x , ∂ ) (ср. сопряженный оператор ).

Подводя итог, можно сказать, что если исходная (сильная) задача состояла в том, чтобы найти | α |-раз дифференцируемую функцию u, определенную на открытом множестве W , такую, что

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W}$

(так называемое сильное решение ), то интегрируемая функция u будет называться слабым решением, если

${\displaystyle \int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

для любой гладкой функции с компактным носителем в W . ${\displaystyle \varphi }$

Другие виды слабых растворов

Понятие слабого решения, основанное на распределениях, иногда неадекватно. В случае гиперболических систем понятие слабого решения, основанное на распределениях, не гарантирует уникальности, и его необходимо дополнить условиями энтропии или каким-либо другим критерием отбора. В полностью нелинейных уравнениях в частных производных, таких как уравнение Гамильтона–Якоби , существует совершенно иное определение слабого решения, называемое вязкостным решением .

Ссылки

• Эванс, Л.К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.