Ак-сингулярность

Описание вырожденности функции

В математике, и в частности в теории особенностей , особенность типа A _k , где k ≥ 0 — целое число , описывает уровень вырожденности функции . Обозначение было введено В. И. Арнольдом .

Пусть будет гладкой функцией . Обозначим через бесконечномерное пространство всех таких функций. Пусть обозначим бесконечномерную группу Ли диффеоморфизмов и бесконечномерную группу Ли диффеоморфизмов Группа произведений действует на следующим образом: пусть и будут диффеоморфизмами и любой гладкой функцией. Определим действие группы следующим образом: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (\varphi ,\psi )\cdot f:=\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}}$

Орбита f , обозначаемая orb( f ) , этого группового действия задается формулой

${\displaystyle {\mbox{orb}}(f)=\{\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}:\varphi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} ^{n}),\psi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} )\}\ .}$

Члены данной орбиты этого действия имеют следующий общий факт: мы можем найти диффеоморфное изменение координаты в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и диффеоморфное изменение координаты в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ такие, что один член орбиты переносится в любой другой. Говорят, что функция f имеет тип A _k -сингулярности, если она лежит в орбите

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1+\varepsilon _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\varepsilon _{n-1}x_{n-1}^{2}\pm x_{n}^{k+1}}$

где и k ≥ 0 — целое число. ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$

Под нормальной формой мы подразумеваем особенно простого представителя любой заданной орбиты. Выражения выше для f дают нормальные формы для типа A _k -сингулярностей. Тип A _k -сингулярности являются особыми, поскольку они находятся среди простых сингулярностей, это означает, что существует только конечное число других орбит в достаточно малой окрестности орбиты  f .

Эта идея распространяется на комплексные числа , где нормальные формы гораздо проще; например: нет необходимости различать ε _i = +1 от ε _i = −1 .

Ссылки

• Арнольд, В.И.; Варченко, А.Н.; Гусейн-Заде, С.М. (1985), Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, том 1 , Биркхойзер, ISBN 0-8176-3187-9