Математические обозначения

Система символического изображения

Математическая запись состоит из использования символов для представления операций , неопределенных чисел , отношений и любых других математических объектов и объединения их в выражения и формулы . Математические обозначения широко используются в математике , науке и технике для представления сложных понятий и свойств кратким, однозначным и точным способом.

Например, уравнение Альберта Эйнштейна представляет собой количественное представление в математической записи эквивалентности массы и энергии . ${\displaystyle E=mc^{2}}$

Математическая нотация была впервые введена Франсуа Вьетом в конце 16 века и значительно расширена в 17 и 18 веках Рене Декартом , Исааком Ньютоном , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и в целом Леонардом Эйлером .

Символы

Использование множества символов является основой математической записи. Они играют ту же роль, что и слова в естественных языках . Они могут играть разные роли в математической записи, подобно тому, как глаголы, прилагательные и существительные играют разные роли в предложении.

Буквы как символы

Буквы обычно используются для обозначения — на математическом жаргоне , так сказать, представления — математических объектов . Обычно используются латинский и греческий алфавиты, но иногда используются и некоторые буквы еврейского алфавита . Прописные и строчные буквы считаются разными символами. Для латинского алфавита разные шрифты также содержат разные символы. Например, и теоретически могут встречаться в одном и том же математическом тексте в шести разных значениях. Обычно прямой римский шрифт не используется для символов, за исключением символов, состоящих из нескольких букв, таких как символ « » функции синуса . ${\displaystyle (\aleph ,\beth )}$ ${\displaystyle r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle \sin }$

Чтобы иметь больше символов и разрешить представление связанных математических объектов связанными символами, часто используются диакритические , нижние и верхние индексы . Например, может обозначать преобразование Фурье производной функции , называемой ${\displaystyle {\hat {f'_{1}}}}$ ${\displaystyle f_{1}.}$

Другие символы

Символы используются не только для обозначения математических объектов. Их можно использовать для операций над отношениями , логическими связками , кванторами и для других целей. ${\displaystyle (+,-,/,\oplus ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\forall ,\exists ),}$

Некоторые символы похожи на латинские или греческие буквы, некоторые получены путем деформации букв, некоторые являются традиционными типографскими символами , но многие были специально разработаны для математики.

Выражения

Выражение — это конечная комбинация символов , которая правильно сформирована в соответствии с правилами , зависящими от контекста. В общем, выражение обозначает или называет математический объект и поэтому играет в языке математики роль именной группы в естественном языке.

Выражение часто содержит несколько операторов и поэтому может быть оценено по действию операторов в нем. Например, это выражение, в котором оператор может быть оценен для получения результата So, и это два разных выражения, которые представляют одно и то же число. В этом смысл равенства ${\displaystyle 3+2}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 5.}$ ${\displaystyle 3+2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 3+2=5.}$

Более сложный пример представляет собой выражение , которое можно вычислить. Хотя результирующее выражение содержит операторы деления , вычитания и возведения в степень , его нельзя вычислить дальше, поскольку a и b обозначают неуказанные числа. ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$

История

Числа

Считается, что обозначения для обозначения чисел были впервые разработаны по крайней мере 50 000 лет назад ^[1] — ранние математические идеи, такие как подсчет пальцев ^[2], также были представлены коллекциями камней, палок, костей, глины, камня, резьбы по дереву. и завязанные веревки. Счётная палочка — способ счёта, восходящий к верхнему палеолиту . Возможно, самые древние из известных математических текстов принадлежат древнему Шумеру . В переписи кипу в Андах и в кости Ишанго из Африки для учета числовых концепций использовался метод подсчета .

Понятие нуля и введение для него обозначения являются важным развитием ранней математики, которая на протяжении веков предшествовала концепции нуля как числа. Оно использовалось в качестве заполнителя вавилонянами и египтянами -греками , а затем как целое число майя , индийцами и арабами ( см. историю нуля ).

Современные обозначения

До XVI века математика была по существу риторической , в том смысле, что все, кроме явных чисел, выражалось словами. Однако некоторые авторы, такие как Диофант, использовали некоторые символы в качестве сокращений.

Первое систематическое использование формул и, в частности, использование символов ( переменных ) для неуказанных чисел обычно приписывают Франсуа Вьету (16 век). Однако он использовал символы, отличные от тех, которые сейчас являются стандартными.

Позже Рене Декарт (17 век) ввел современные обозначения переменных и уравнений ; в частности, использование для неизвестных величин и для известных ( констант ). Он также ввел обозначение i и термин «мнимая» для мнимой единицы . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle a,b,c}$

В XVIII и XIX веках произошла стандартизация математической записи, используемой сегодня. Леонард Эйлер был ответственным за многие из используемых в настоящее время обозначений: функциональное обозначение е для основания натурального логарифма, для суммирования и т. д . ^[3] Он также популяризировал использование π для постоянной Архимеда (предложенной Уильямом Джонсом , на основе более ранних обозначений Уильяма Отреда ). ^[4] ${\displaystyle f(x),}$ ${\textstyle \sum }$

С тех пор было введено множество новых обозначений, часто специфичных для определенной области математики. Некоторые обозначения названы в честь их изобретателей, например, обозначения Лейбница , символ Лежандра , соглашение Эйнштейна о суммировании и т. д.

верстка

Общие системы набора текста обычно не очень подходят для математической записи. Одна из причин заключается в том, что в математической записи символы часто располагаются в виде двумерных фигур, например:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.}$

TeX — математически ориентированная система набора текста, созданная в 1978 году Дональдом Кнутом . Он широко используется в математике благодаря своему расширению под названием LaTeX и является стандартом де-факто . (Приведенное выше выражение написано в LaTeX.)

Совсем недавно MathML представил еще один подход к математическому набору текста . Однако он плохо поддерживается в веб-браузерах, что является его основной целью.

Международный стандарт математической записи

Международный стандарт ISO 80000-2 (ранее ISO 31-11 ) определяет символы для использования в математических уравнениях. Стандарт требует использования курсивных шрифтов для переменных (например, E = mc ² ) и римских (вертикальных) шрифтов для математических констант (например, e или π).

Математические обозначения, не основанные на латинице

Современная арабская математическая система обозначений основана в основном на арабском алфавите и широко используется в арабском мире , особенно в довузовском образовании .

(В западной системе обозначений используются арабские цифры , но арабская система обозначений также заменяет латинские буквы и связанные с ними символы арабским шрифтом.)

Помимо арабской записи, в математике также используются греческие буквы для обозначения широкого спектра математических объектов и переменных. В некоторых случаях также используются определенные буквы иврита (например, в контексте бесконечных кардиналов ).

Некоторые математические обозначения в основном схематичны и поэтому почти полностью не зависят от сценария. Примерами являются графические обозначения Пенроуза и диаграммы Коксетера-Динкина .

Математические обозначения на основе Брайля, используемые слепыми, включают Nemeth Braille и GS8 Braille .

Смотрите также

• Злоупотребление обозначениями
• Бегриффсшрифт
• Словарь математических символов
  • Символ опасного изгиба Бурбаки
• История математической записи
• ИСО 31-11
• ИСО 80000-2
• Обозначение Кнута со стрелкой вверх
• Список математических символов
• Математические буквенно-цифровые символы
• Математическая формула
• Обозначения вероятности и статистики
• Язык математики
• Научная нотация
• Семасиография
• Таблица математических символов
• Векторные обозначения
• Современная арабская математическая запись

Рекомендации

1. Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). п. 9. ISBN 978-0-03-029558-4.
2. Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Перевод Беллоса, Дэвида; Хардинг, Э. Ф.; Вуд, Софи; Монк, Ян. Джон Уайли и сыновья . п. 48. ИСБН 0-471-39340-1.(Примечание. Ифра подкрепляет свой тезис, цитируя идиоматические фразы из языков всего мира. Он отмечает, что люди научились считать на руках. Он показывает, например, изображение Боэция ( который жил в 480–524 или 525 годах), считающего его пальцы.)
3. Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики. Джон Уайли и сыновья . стр. 442–443. ISBN 978-0-471-54397-8.
4. Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4.

дальнейшее чтение

• Флориан Каджори , История математических обозначений (1929), 2 тома. ISBN 0-486-67766-4 
• Мазур, Джозеф (2014), Просветляющие символы: краткая история математической записи и ее скрытых возможностей. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-15463-3 

Внешние ссылки

• Древнейшие варианты использования различных математических символов
• Математическая нотация ASCII: как вводить математические обозначения в любом текстовом редакторе.
• Математика как язык в Cut-the-Knot
• Стивен Вольфрам : Математические обозначения: прошлое и будущее. Октябрь 2000 г. Стенограмма основного доклада, представленного на конференции MathML и Math в Интернете: Международная конференция MathML.