Обозначение Фойгта

Математическая концепция

В математике нотация Фойгта или форма Фойгта в полилинейной алгебре — это способ представить симметричный тензор путем уменьшения его порядка. ^[1] Есть несколько вариантов и связанных с ними названий этой идеи: нотация Манделя , нотация Манделя-Фойгта и нотация Ная . Обозначение Кельвина — это возрождение Хельбигом ^[2] старых идей лорда Кельвина . Различия здесь заключаются в определенных весах, присвоенных выбранным элементам тензора. Номенклатура может варьироваться в зависимости от традиций в области применения.

Например, симметричный тензор X размера 2 × 2 имеет только три различных элемента: два из них расположены по диагонали, а другой - внедиагонально. Таким образом, его можно выразить как вектор

${\displaystyle \langle x_{11},x_{22},x_{12}\rangle }$.

Другой пример:

Тензор напряжений (в матричных обозначениях) имеет вид

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{matrix}}\right].}$

В обозначениях Фойгта он упрощается до 6-мерного вектора:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\sigma _{yz},\sigma _{xz},\sigma _{xy})\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4},\sigma _{5},\sigma _{6}).}$

Тензор деформаций, аналогичный по своей природе тензору напряжений (оба являются симметричными тензорами второго порядка), задается в матричной форме как

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}=\left[{\begin{matrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{matrix}}\right].}$

Его представление в обозначениях Фойгта:

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),}$

где , , и – инженерные деформации сдвига. ${\displaystyle \gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}}$ ${\displaystyle \gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}}$ ${\displaystyle \gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}}$

Преимущество использования различных представлений напряжения и деформации заключается в том, что скалярная инвариантность

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\epsilon }}=\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\tilde {\sigma }}\cdot {\tilde {\epsilon }}}$

сохраняется.

Аналогично трехмерный симметричный тензор четвертого порядка можно свести к матрице 6×6.

Мнемоническое правило

Простое мнемоническое правило для запоминания обозначений Фойгта следующее:

• Запишите тензор второго порядка в матричной форме (в примере тензор напряжений)
• Вычеркните диагональ
• Продолжить в третьем столбце
• Вернитесь к первому элементу в первой строке.

Индексы Фойгта нумеруются последовательно от начальной точки до конца (в примере цифры выделены синим цветом).

Обозначение Манделя

Для симметричного тензора второго ранга

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]}$

только шесть компонентов различны: три расположены по диагонали, а остальные - внедиагональны. Таким образом, в обозначениях Манделя ^[3] его можно выразить как вектор

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$

Основным преимуществом нотации Манделя является возможность использования тех же обычных операций, что и с векторами, например:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$

Симметричный тензор четвертого ранга удовлетворяет требованиям и имеет 81 компонент в трехмерном пространстве, но только 36 компонентов различны. Таким образом, в обозначениях Манделя это можно выразить как ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$ ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$

${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$

Приложения

Обозначение названо в честь физика Вольдемара Фойгта и Джона Ная (ученый) . Это полезно, например, в расчетах с использованием материальных моделей для моделирования материалов, таких как обобщенный закон Гука , а также при анализе методом конечных элементов ^[4] и диффузионной МРТ . ^[5]

Закон Гука имеет симметричный тензор жесткости четвертого порядка с 81 компонентом (3×3×3×3), но поскольку применение такого тензора ранга 4 к симметричному тензору ранга 2 должно привести к другому симметричному тензору ранга 2, не все из 81 элемента независимы. Обозначение Фойгта позволяет представить такой тензор ранга 4 матрицей 6×6. Однако форма Фойгта не сохраняет сумму квадратов, которая в случае закона Гука имеет геометрическое значение. Это объясняет, почему вводятся веса (чтобы сделать отображение изометрическим ).

Обсуждение инвариантности обозначений Фойгта и обозначений Манделя можно найти в Helnwein (2001). ^[6]

Рекомендации

1. Вольдемар Фойгт (1910). Лехрбух по кристаллофизике. Тойбнер, Лейпциг . Проверено 29 ноября 2016 г.
2. Клаус Хельбиг (1994). Основы анизотропии для разведочной сейсморазведки . Пергамон. ISBN 0-08-037224-4.
3. Жан Мандель (1965). «Обобщение теории пластичности В.Т. Койтера». Международный журнал твердых тел и структур . 1 (3): 273–295. дои : 10.1016/0020-7683(65)90034-x.
4. OC Зенкевич; Р. Л. Тейлор; Дж. З. Чжу (2005). Метод конечных элементов: его основы и основы (6-е изд.). Эльзевир Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-6431-8.
5. Махер Моахер (2009). «Алгебра тензоров четвертого порядка в применении к диффузионной МРТ». Визуализация и обработка тензорных полей . Математика и визуализация. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 57–80. дои : 10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN 978-3-540-88377-7.
6. Питер Хельнвейн (16 февраля 2001 г.). «Некоторые замечания о сжатом матричном представлении симметричных тензоров второго и четвертого порядка». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 190 (22–23): 2753–2770. Бибкод : 2001CMAME.190.2753H. дои : 10.1016/s0045-7825(00)00263-2.

Смотрите также

• Векторизация (математика)
• Закон Гука