Шеллинг (топология)

Математическая концепция

В математике шелушение симплициального комплекса — это способ склеивания его из его максимальных симплексов (симплексов, которые не являются гранью другого симплекса) правильным образом. Комплекс, допускающий шелушение, называется шелуемым .

Определение

D -мерный симплициальный комплекс называется чистым, если все его максимальные симплексы имеют размерность d . Пусть — конечный или счетно бесконечный симплициальный комплекс. Упорядочение максимальных симплексов является оболочкой , если для всех комплекс ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k=2,3,\ldots }$

${\displaystyle B_{k}:={\Big (}\bigcup _{i=1}^{k-1}C_{i}{\Big )}\cap C_{k}}$

является чистым и имеет размерность на единицу меньше . То есть, «новый» симплекс встречается с предыдущими симплексами вдоль некоторого объединения симплексов верхней размерности границы . Если — вся граница , то называется охватывающим . ${\displaystyle \dim C_{k}}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle C_{k}}$

Для не обязательно счетных можно определить оболочку как вполне упорядоченное множество максимальных симплексов, имеющих аналогичные свойства. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Характеристики

• Оболочечный комплекс гомотопически эквивалентен клиновой сумме сфер , по одной для каждого охватывающего симплекса соответствующей размерности .
• Оболочечный комплекс может допускать много различных оболочек, но число охватывающих его симплексов и их размеры не зависят от выбора оболочки. Это следует из предыдущего свойства.

Примеры

• Каждый комплекс Коксетера , и, в более общем смысле, каждое здание (в смысле Титса), может быть подвергнуто обстрелу. ^[1]

• Граничный комплекс (выпуклого) многогранника является оболочечным. ^{[2] [3]} Обратите внимание, что здесь оболочечность обобщается на случай полиэдральных комплексов (которые не обязательно являются симплициальными).

• Существует нерасщепляемая триангуляция тетраэдра . ^[4 ]

Примечания

1. Бьёрнер, Андерс (1984). «Некоторые комбинаторные и алгебраические свойства комплексов Коксетера и зданий Титса». Advances in Mathematics . 52 (3): 173–212. doi : 10.1016/0001-8708(84)90021-5 . ISSN  0001-8708.
2. Bruggesser, H.; Mani, P. (1971). «Оболочковые разложения ячеек и сфер». Mathematica Scandinavica . 29 : 197–205. doi : 10.7146/math.scand.a-11045 .
3. Циглер, Гюнтер М. "8.2. Оболочковые многогранники". Лекции по многогранникам . Springer. С. 239–246. doi : 10.1007/978-1-4613-8431-1_8 .
4. Рудин, Мэри Эллен (1958). «Необолочечная триангуляция тетраэдра». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3): 90–91. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10168-8 . ISSN  1088-9485.

Ссылки

• Козлов, Дмитрий (2008). Комбинаторная алгебраическая топология . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-71961-8.