В логике и дедуктивном мышлении аргумент является обоснованным , если он является обоснованным по форме и не содержит ложных предпосылок . [1] Обоснованность имеет родственное значение в математической логике , где формальная система логики является обоснованной тогда и только тогда, когда каждая правильно построенная формула , которая может быть доказана в системе, является логически обоснованной по отношению к логической семантике системы.
В дедуктивном рассуждении обоснованный аргумент — это аргумент, который является действительным , и все его предпосылки истинны (и, как следствие, его заключение также истинно). Аргумент является действительным, если, предполагая, что его предпосылки истинны, заключение должно быть истинным. Примером обоснованного аргумента является следующий известный силлогизм :
Ввиду логической необходимости заключения этот аргумент действителен; а поскольку аргумент действителен и его предпосылки истинны, аргумент является обоснованным.
Однако аргумент может быть действительным, не будучи обоснованным. Например:
Этот аргумент действителен, поскольку заключение должно быть истинным, предполагая, что предпосылки истинны. Однако первая предпосылка ложна. Не все птицы умеют летать (например, страусы). Чтобы аргумент был обоснованным, он должен быть действителен , а его предпосылки истинны. [2]
Некоторые авторы, такие как Леммон , использовали термин «soundness» как синоним того, что сейчас подразумевается под «validity», [3] что не оставило им конкретного слова для того, что сейчас называется «softness». Но в наши дни это разделение терминов очень распространено.
В математической логике логическая система обладает свойством обоснованности, если каждая формула , которая может быть доказана в системе, логически верна относительно семантики системы. В большинстве случаев это сводится к ее правилам, имеющим свойство сохранения истинности . [4] Обратное свойство обоснованности известно как полнота .
Логическая система с синтаксическим выводом и семантическим выводом является обоснованной , если для любой последовательности предложений в ее языке, если , то . Другими словами, система является обоснованной, когда все ее теоремы являются тавтологиями .
Основательность является одним из самых фундаментальных свойств математической логики. Свойство обоснованности обеспечивает начальную причину для того, чтобы считать логическую систему желательной. Свойство полноты означает, что каждая действительность (истина) доказуема. Вместе они подразумевают, что все и только действительные вещи доказуемы.
Большинство доказательств обоснованности тривиальны. [ требуется цитата ] Например, в аксиоматической системе доказательство обоснованности сводится к проверке обоснованности аксиом и того, что правила вывода сохраняют обоснованность (или более слабое свойство, истину). Если система допускает вывод в стиле Гильберта , она требует только проверки обоснованности аксиом и одного правила вывода, а именно modus ponens . (а иногда и подстановки)
Свойства прочности бывают двух основных видов: слабая и сильная прочность, из которых первая является ограниченной формой второй.
Слабая обоснованность дедуктивной системы — это свойство, что любое предложение, которое доказуемо в этой дедуктивной системе, также истинно для всех интерпретаций или структур семантической теории для языка, на котором эта теория основана. В символах, где S — дедуктивная система, L — язык вместе с его семантической теорией, а P — предложение L : если ⊢ S P , то также ⊨ L P .
Сильная обоснованность дедуктивной системы — это свойство, что любое предложение P языка, на котором основана дедуктивная система, выводимое из множества Γ предложений этого языка, также является логическим следствием этого множества, в том смысле, что любая модель, которая делает все члены Γ истинными, также сделает P истинным. В символах, где Γ — множество предложений L : если Γ ⊢ S P , то также Γ ⊨ L P . Обратите внимание, что в утверждении о сильной обоснованности, когда Γ пусто, мы имеем утверждение о слабой обоснованности.
Если T — теория, объекты дискурса которой можно интерпретировать как натуральные числа , мы говорим, что T арифметически обоснована , если все теоремы T на самом деле верны относительно стандартных математических целых чисел. Для получения дополнительной информации см. ω-согласованная теория .
Обратным свойством обоснованности является свойство семантической полноты . Дедуктивная система с семантической теорией является строго полной, если каждое предложение P , являющееся семантическим следствием набора предложений Γ, может быть выведено в системе вывода из этого набора. В символах: всякий раз, когда Γ ⊨ P , то и Γ ⊢ P . Полнота логики первого порядка была впервые явно установлена Гёделем , хотя некоторые из основных результатов содержались в более ранних работах Сколема .
Неформально, теорема о корректности для дедуктивной системы выражает, что все доказуемые предложения истинны. Полнота утверждает, что все истинные предложения доказуемы.
Первая теорема Гёделя о неполноте показывает, что для языков, достаточных для выполнения определенного объема арифметических операций, не может быть последовательной и эффективной дедуктивной системы, которая была бы полной относительно предполагаемой интерпретации символики этого языка. Таким образом, не все звучащие дедуктивные системы являются полными в этом особом смысле полноты, в котором класс моделей (с точностью до изоморфизма ) ограничен предполагаемой. Исходное доказательство полноты применимо ко всем классическим моделям, а не к какому-то особому собственному подклассу предполагаемых.
{{cite book}}: CS1 maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )