Хорда (геометрия)

Геометрический отрезок прямой, обе конечные точки которого лежат на кривой

Обычные линии и отрезки на окружности, включая хорду синего цвета

Хорда (от латинского chorda , что означает « тетива ») окружности — это отрезок прямой линии , концы которого лежат на дуге окружности . Если бы хорду можно было бы бесконечно продолжить в обоих направлениях в линию , то объектом была бы секущая линия . Перпендикулярная линия, проходящая через середину хорды , называется sagitta (лат. «стрела»).

В более общем смысле, хорда — это отрезок прямой, соединяющий две точки на любой кривой , например, на эллипсе . Хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром окружности .

В кругах

Среди свойств хорд окружности можно выделить следующие:

1. Хорды ​​равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
2. Равные хорды опираются на равные углы из центра окружности.
3. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и является самой длинной хордой данной окружности.
4. Если продолжения прямых (секущие) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют соотношению AP·PB = CP·PD ( теорема о степени точки ).

В кониках

Средние точки набора параллельных хорд конического сечения лежат на одной прямой ( теорема о средней точке для конических сечений ). ^[1]

В тригонометрии

Хорды ​​широко использовались в раннем развитии тригонометрии . Первая известная тригонометрическая таблица, составленная Гиппархом во II веке до н. э., не сохранилась, но она содержала значение функции хорды для каждого ⁠7+1/2⁠ градусов . Во 2 веке нашей эры Птолемей составил более обширную таблицу хорд в своей книге по астрономии , указав значение хорды для углов в диапазоне от ⁠1/2⁠ до 180 градусов с шагом ⁠1/2⁠ градуса. Птолемей использовал окружность диаметром 120 и дал длины хорд с точностью до двух шестидесятеричных (основание шестьдесят) цифр после целой части. ^[2]

Функция хорды геометрически определяется, как показано на рисунке. Хорда угла — это длина хорды между двумя точками на единичной окружности, разделенными этим центральным углом . Угол θ берется в положительном смысле и должен лежать в интервале 0 < θ ≤ π (радианная мера). Функцию хорды можно связать с современной функцией синуса , взяв одну из точек за (1,0), а другую за ( cos θ , sin θ ), а затем используя теорему Пифагора для вычисления длины хорды: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ ^[3]

Последний шаг использует формулу половинного угла . Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была построена на функции хорды. Гиппарх, как предполагается, написал двенадцатитомный труд о хордах, который теперь утерян, так что, по-видимому, о них было известно очень много. В таблице ниже (где c — длина хорды, а D — диаметр окружности) можно показать, что функция хорды удовлетворяет многим тождествам, аналогичным известным современным:

Обратная функция также существует: ^[4]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

Смотрите также

• Круговой сегмент — часть сектора, остающаяся после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя концами дуги окружности на границе.
• Гамма аккордов
• Таблица хорд Птолемея
• Теорема Холдича для хорды, вращающейся по выпуклой замкнутой кривой
• Круговой график
• Экссекант и экскосекант
• Версинус и гаверсинус - ( ) ${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$
• Кривая Зиндлера (замкнутая и простая кривая, в которой все хорды, делящие длину дуги пополам, имеют одинаковую длину)
• Парадокс Бертрана (вероятность) средняя длина хорды парадокс

Ссылки

1. Гибсон, К. Г. (2003). "7.1 Серединные геометрические места". Элементарная евклидова геометрия: Введение . Cambridge University Press. С. 65–68. ISBN 9780521834483.
2. Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights . Princeton University Press. стр. 25–27. ISBN 978-0-691-15820-4.
3. Weisstein, Eric W. "Круговой сегмент". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource.
4. Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). "AUXTRIG" (исходный код FORTRAN-90). Гринбелт, Мэриленд, США: NASA Goddard Space Flight Center . Получено 2015-10-26 .

Внешние ссылки

• История тригонометрии. Краткое содержание
• Тригонометрические функции Архивировано 10.03.2017 на Wayback Machine , с упором на историю
• Хорда (окружности) С интерактивной анимацией