Неопределенный (переменный)

Математический символ, используемый в качестве заполнителя для других объектов формальной алгебры.

В математике , особенно в формальной алгебре , неопределенный символ — это символ, который рассматривается как переменная , но не обозначает ничего, кроме самого себя. Его можно использовать в качестве заполнителя в таких объектах, как полиномы и формальные степенные ряды . ^{[1] [2]} В частности:

• Оно не обозначает константу или параметр задачи.
• Это не неизвестное, которое можно решить.
• Это не переменная, обозначающая аргумент функции , или переменная, по которой суммируются или интегрируются .
• Это не какой-либо тип связанной переменной .
• Это всего лишь символ, используемый совершенно формальным образом. ^[3]

При использовании в качестве заполнителей обычной операцией является замена неопределенных значений математическими выражениями (соответствующего типа).

Из-за обычного злоупотребления языком математические тексты не могут четко отличить неопределенные переменные от обычных.

Полиномы

Многочлен от неопределенного – это выражение вида , где называются коэффициентами многочлена. Два таких многочлена равны только в том случае, если равны соответствующие коэффициенты. ^[4] Напротив, две полиномиальные функции в переменной могут быть равны или не равны при определенном значении . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Например, функции

${\displaystyle f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x}$

равны тогда и не равны в противном случае. Но два многочлена ${\displaystyle x=3}$

${\displaystyle 2+3X,\quad 5+2X}$

неравны, так как 2 не равно 5, а 3 не равно 2. На самом деле,

${\displaystyle 2+3X=a+bX}$

не выполняется , если и . Это потому , что это не число и оно не обозначает его. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle X}$

Разница невелика, поскольку полином in можно превратить в функцию путем подстановки. Но это различие важно, поскольку при такой замене информация может быть потеряна. Например, при работе по модулю 2 мы имеем следующее: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,}$

таким образом, полиномиальная функция тождественно равна 0 для любого значения в системе по модулю 2. Однако полином не является нулевым полиномом, поскольку не все коэффициенты 0, 1 и -1 соответственно равны нулю. ${\displaystyle x-x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X-X^{2}}$

Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд в неопределенном является выражением формы , где символу не приписывается никакого значения . ^[5] Это похоже на определение многочлена, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть отличным от нуля. В отличие от степенного ряда , встречающегося в исчислении, вопросы сходимости не имеют значения (поскольку здесь не задействована никакая функция). Таким образом , допускаются степенные ряды, которые расходятся при значениях , например . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,}$

В качестве генераторов

Неопределенные значения полезны в абстрактной алгебре для создания математических структур . Например, для данного поля набор полиномов с коэффициентами в представляет собой кольцо полиномов с полиномиальным сложением и умножением в качестве операций. В частности, если используются два неопределенных и , то кольцо многочленов также использует эти операции, и соглашение соблюдает это . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K[X,Y]}$ ${\displaystyle XY=YX}$

Неопределенные значения также можно использовать для создания свободной алгебры над коммутативным кольцом . Например, с двумя неопределенными и свободная алгебра включает суммы строк в и с коэффициентами в и с пониманием того, что и не обязательно идентичны (поскольку свободная алгебра по определению некоммутативна). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle YX}$

Смотрите также

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенная система
• Полиномиальный
• Формальный степенной ряд

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Неопределенный». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 декабря 2019 г.
2. «Определение: Кольцо полинома / неопределенное - ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 2 декабря 2019 г.
3. Маккой (1973, стр. 189, 190)
4. Херштейн 1975, раздел 3.9.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Ряд формальных сил». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 декабря 2019 г.

Рекомендации

• Херштейн, Индиана (1975). Темы по алгебре . ISBN 047102371X.
• Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN  68015225

---

В эту статью включены материалы из неопределенного сайта PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .