Обратная функция

Математическая концепция

Функция f и ее обратная f ⁻¹ . Поскольку f отображает a в 3, обратный f ⁻¹ отображает 3 обратно в a .

В математике обратная функция функции f (также называемая обратной функцией f ) — это функция , которая отменяет операцию f . Обратное к f существует тогда и только тогда, когда f является биективным , и если оно существует, обозначается через ${\displaystyle f^{-1}.}$

Для функции ее обратная сторона допускает явное описание: она отправляет каждый элемент в уникальный элемент такой, что f ( x ) = y . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную выражением f ( x ) = 5 x − 7 . Можно думать о f как о функции, которая умножает входные данные на 5, а затем вычитает 7 из результата. Чтобы отменить это, нужно добавить 7 к входным данным, а затем разделить результат на 5. Следовательно, обратная функция f — это функция, определяемая формулой ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Определения

Если f отображает X в Y , то f − ¹ отображает Y обратно в X.

Пусть f — функция, областью определения которой является множество X , а кодоменом — множество Y. Тогда f обратима , если существует функция g из Y в X такая, что для всех и для всех . ^[1] ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Если f обратима, то существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Функция g называется обратной к f и обычно обозначается как f ⁻¹ — обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]}

Функция f обратима тогда и только тогда, когда она биективна. Это происходит потому , что условие для всех подразумевает, что f инъективно , а условие для всех подразумевает, что f сюръективно . ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Обратная функция f ⁻¹ к f может быть явно описана как функция

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Инверсии и композиция

Напомним, что если f — обратимая функция с областью определения X и кодовой областью Y , то

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, для всех и для каждого . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Используя композицию функций , это утверждение можно переписать в следующие уравнения между функциями:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

где id _X — тождественная функция на множестве X ; то есть функция, которая оставляет свой аргумент неизменным. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .

Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f ⁻¹ . Повторное составление функции f : X → X с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f ⁿ ( x ) ; поэтому f ² ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f ⁻¹ ( f ( x )) = x , составление f ⁻¹ и f ⁿ дает f ^{n −1} , «отменяя» эффект одного применение ф .

Обозначения

Хотя обозначение f ⁻¹ ( x ) может быть понято неправильно, ^[1] ( f ( x )) ⁻¹ определенно обозначает мультипликативную обратную функцию f ( x ) и не имеет ничего общего с обратной функцией f . ^[6] Это обозначение может использоваться для обратной функции, чтобы избежать двусмысленности с мультипликативной обратной функцией . ^[7] ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

В соответствии с общими обозначениями некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin ⁻¹ ( x ), для обозначения обратной функции синуса, примененной к x (фактически частичной обратной; см. ниже). ^{[8] [6]} Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативного обратного значения sin ( x ) , которое можно обозначить как (sin ( x )) ⁻¹ . ^[6] Чтобы избежать путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается приставкой « arcus » (от латинского arcus ). ^{[9] [10]} Например, обратную функцию синуса обычно называют функцией арксинуса и записывают как arcsin ( x ) . ^{[9] [10]} Точно так же обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (от латинского ārea ). ^[10] Например, функция, обратная гиперболическому синусу , обычно записывается как arsinh ( x ) . ^[10] Такие выражения, как sin ⁻¹ ( x ), все еще могут быть полезны для того, чтобы отличить многозначную инверсию от частичной инверсии: . Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избегать двусмысленности обозначения f ^{-1 . [11] [10]} ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

Примеры

Функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня

Функция f : R → [0,∞) , заданная формулой f ( x ) = x ² , не является инъективной, поскольку для всех . Следовательно, f не обратима. ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть мы берем функцию по тому же правилу , что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимой. ^[12] Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня и обозначается . ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

Стандартные обратные функции

В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратных:

Формула обратного

Многие функции, заданные алгебраическими формулами, имеют формулу обратного. Это связано с тем, что обратная функция обратимой имеет явное описание как ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Это позволяет легко определять обратные функции для многих функций, заданных алгебраическими формулами. Например, если f — функция

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

затем, чтобы определить действительное число y , необходимо найти уникальное действительное число x такое, что (2 x + 8) ³ = y . Это уравнение можно решить: ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Таким образом, обратная функция f ⁻¹ задается формулой

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

Иногда обратную функцию невозможно выразить формулой в замкнутой форме . Например, если f — функция

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f ⁻¹ . Формула этого обратного выражения имеет выражение в виде бесконечной суммы:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Характеристики

Поскольку функция представляет собой особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .

Уникальность

Если для данной функции f существует обратная функция , то она единственна. ^[13] Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется f .

Симметрия

Между функцией и обратной ей существует симметрия. В частности, если f — обратимая функция с областью определения X и кодоменом Y , то ее обратная функция f ⁻¹ имеет область определения Y и образ X , а обратная функция f ⁻¹ — это исходная функция f . Символьно для функций f : X → Y и f ⁻¹ : Y → X , ^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Это утверждение является следствием того, что для того, чтобы f была обратимой, она должна быть биективной. Инволютивную природу обратного можно кратко выразить формулой ^[14] :

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

Обратным к g  ∘  f является f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ .

Обратная композиция функций определяется формулой ^[15]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами; чтобы отменить f, за которым следует g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .

Например, пусть f ( x ) = 3 x и пусть g ( x ) = x + 5 . Тогда композиция g  ∘  f — это функция, которая сначала умножает на три, а затем добавляет пять:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Чтобы обратить этот процесс вспять, нам нужно сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Это композиция ( ж ^-1  ∘  г ^-1 )( Икс ) .

Самоинверсии

Если X — множество, то тождественная функция на X является собственной обратной:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

В более общем смысле, функция f  : X → X равна своей обратной, тогда и только тогда, когда композиция f  ∘  f равна id _X . Такая функция называется инволюцией .

График обратного

Графики y знак равно f ( x ) и y знак равно f ⁻¹ ( x ) . Пунктирная линия — y = x .

Если f обратима, то график функции

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

совпадает с графиком уравнения

${\displaystyle x=f(y).}$

Это идентично уравнению y = f ( x ) , которое определяет график f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f ⁻¹ можно получить из графика f , поменяв местами оси x и y . Это эквивалентно отражению графика через линию y = x . ^{[16] [1]}

Обратные и производные

Теорема об обратной функции утверждает, что непрерывная функция f обратима в своем диапазоне (образе) тогда и только тогда, когда она либо строго возрастает, либо убывает (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

обратима, поскольку производная f′ ( x ) = 3 x ² + 1 всегда положительна.

Если функция f дифференцируема на интервале I и f′ ( x ) ≠ 0 для каждого x ∈ I , то обратная функция f − ¹ дифференцируема на f ( I ) . ^[17] Если y = f ( x ) , производная обратной функции определяется теоремой об обратной функции:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Используя обозначения Лейбница, приведенную выше формулу можно записать как

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Этот результат следует из цепного правила (см. статью об обратных функциях и дифференцировании ).

Теорему об обратной функции можно обобщить на функции нескольких переменных. В частности , дифференцируемая функция многих переменных ^f : Rn → Rn обратима в окрестности точки ^p до тех пор, пока матрица Якоби f в точке p обратима . В этом случае якобиан f ⁻¹ в точке f ( p ) является матрицей, обратной якобиану f в точке p .

Реальные примеры

• Пусть f — функция, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта ,
  $${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$
  то ее обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия,
  $${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$
  ^[18] поскольку
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• Предположим , f присваивает каждому ребенку в семье год рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако если в семье есть дети, родившиеся в один и тот же год (например, близнецы или тройня и т. д.), то результат не может быть известен, если на входе указан общий год рождения. Кроме того, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, то имя ребенка назвать нельзя. Но если каждый ребенок родился в отдельный год и если мы ограничим внимание тремя годами, в которых родился ребенок, то мы получим обратную функцию. Например,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• Пусть R — функция, которая приводит к увеличению на x процентов некоторой величины, а F — функция, вызывающая снижение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, а затем второй не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются обратными друг другу.
• Формула для расчета pH раствора: pH = −log ₁₀ [H ⁺ ] . Во многих случаях нам необходимо определить концентрацию кислоты путем измерения pH. Используется обратная функция [H ⁺ ] = 10 ^{−pH .}

Обобщения

Частичные инверсии

Квадратный корень из x является частичным обратным к f ( x ) = x ² .

Даже если функция f не является взаимно однозначной, можно определить частичную обратную функцию f , ограничив область определения. Например, функция

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

не является взаимно однозначным, поскольку x ² = (− x ) ² . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , и в этом случае

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , то обратная функция будет отрицательным квадратным корнем из y .) Альтернативно, нет необходимости ограничивать область определения, если мы довольствуемся тем, что обратная функция является многозначной функцией :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

Обратная этой кубической функции имеет три ветви.

Иногда эту многозначную инверсию называют полной инверсией f , а части (такие как √ x и − √ x ) называют ветвями . Самая важная ветвь многозначной функции (например, положительный квадратный корень) называется главной ветвью , а ее значение в точке y называется главным значением f ⁻¹ ( y ) .

Для непрерывной функции на действительной прямой необходима одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. рисунок рядом).

Арксинус является частичной обратной функцией синуса .

Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является однозначной, поскольку

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

для каждого действительного x (и, в более общем смысле, sin( x + 2 π n ) = sin( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус взаимно однозначен на интервале [−π/2, π/2] , а соответствующая частичная обратная называется арксинусом . Это считается основной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между —π/2иπ/2. В следующей таблице описаны основные ветви каждой обратной тригонометрической функции: ^[19]

Левая и правая инверсия

Состав функций слева и справа не обязательно должен совпадать. В целом условия

1. «Существует g такой, что g ( f ( x )) = x » и
2. «Существует g такой, что f ( g ( x )) = x »

подразумевают разные свойства f . Например, пусть f : R → [0, ∞) обозначает возведение в квадрат карты, такое что f ( x ) = x ² для всех x в R , и пусть g : [0, ∞) → R обозначает карту квадратного корня, такой, что г ( Икс ) знак равно √ Икс для всех Икс ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правой противоположностью f . Однако g не является левой инверсией к f , поскольку, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Левые инверсии

Если f : X → Y , левая обратная для f (или ретракция f ) представляет собой функцию g : Y → X такую, что составление f с g слева дает тождественную функцию ^[20]

$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

g

Если f ( x ) = y , то g ( y ) = x .

Функция g должна быть равна обратной функции f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y , отсутствующих в изображении.

Функция f с непустой областью определения инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную. ^[21] Элементарное доказательство выглядит следующим образом:

• Если g является левой инверсией f и f ( x ) = f ( y ) , то g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = y .

• Если непустое f : X → Y инъективно, постройте левый обратный g : Y → X следующим образом: для всех y ∈ Y , если y находится в образе f , то существует x ∈ X такой, что f ( x ) = й . Пусть г ( у ) = х ; это определение единственно, поскольку f инъективно. В противном случае пусть g ( y ) будет произвольным элементом X .

  Для всех x ∈ X f ( x ) находится в образе f . По построению g ( f ( x )) = x , условие левого обратного.

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью определения обязательно имеет левую обратную; однако это может потерпеть неудачу в конструктивной математике . Например, левое обратное включение { 0,1} → R двухэлементного множества в действительные числа нарушает неразложимость , приводя к ретракции вещественной линии к множеству {0,1} . ^[22]

Правые инверсии

Пример правой обратной функции с неинъективной сюръективной функцией

Правая обратная для f (или часть f ) — это функция h : Y → X такая, что

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если , то ${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X , которые отображаются в y при отображении f .

Функция f имеет правую обратную тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя для построения такой обратной функции вообще требуется аксиома выбора ).

Если h — правая инверсия f , то f сюръективен. Для всех есть такое . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

Если f сюръективен, f имеет правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех существует хотя бы один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем один в качестве значения h ( y ) . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

Двусторонние инверсы

Инверсия, которая является одновременно левой и правой инверсией ( двусторонняя инверсия ), если она существует, должна быть уникальной. Фактически, если функция имеет левую обратную и правую обратную, они обе являются одной и той же двусторонней обратной, поэтому ее можно назвать обратной .

Если является левым обратным и правым обратным для всех , . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

Функция имеет двустороннюю обратную тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f инъективна, поэтому она имеет левую обратную (если f — пустая функция, она является своей собственной левой обратной). f сюръективен, поэтому имеет правый обратный. Согласно вышеизложенному, левая и правая инверсия одинаковы. ${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

Если f имеет двустороннюю инверсию g , то g является левой инверсией и правой инверсией f , поэтому f инъективен и сюръективен.

Прообразы

Если f : X → Y — любая функция (не обязательно обратимая), прообраз (или прообраз ) элемента y ∈ Y определяется как набор всех элементов X , которые отображаются в y :

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

Прообраз y можно рассматривать как образ y под ( многозначной ) полной обратной функцией f .

Аналогично, если S — любое подмножество Y , прообраз S , обозначенный как , представляет собой набор всех элементов X , которые отображаются в S : ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Например, возьмем функцию f : R → R ; Икс ↦ Икс ² . Эта функция не обратима, поскольку она не является биективной, но прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена, например

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

Прообраз отдельного элемента y ∈ Y – одноэлементного множества { y }  – иногда называют слоем y . Когда Y является набором действительных чисел, принято называть f ⁻¹ ({ y }) набором уровня .

Смотрите также

• Теорема об обращении Лагранжа дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции.
• Интеграл от обратных функций
• Обратное преобразование Фурье
• Реверсивные вычисления

Примечания

1. Не путать с числовым возведением в степень, например с мультипликативным обратным ненулевым действительным числом.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Обратная функция». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.
2. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Г. и У. Николом, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. дои : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR  107384. S2CID  118124706.
3. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продано компанией J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 августа 2020 г.[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более старую работу Ганса Генриха Бюрмана .)
4. Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Том. Я (новая ред.). Бостон, США. п. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
6. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций». История математических обозначений. Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN . 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 г. [...] §473. Повторные логарифмы [...] Отметим здесь символику, использованную Прингсхаймом и Молком в их совместной статье в энциклопедии : « ² log _b a = log _b (log _b a ), ..., ^{k +1} log _b a = log _b ( ^к журнал _б а )». [...] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций sin ⁻¹ x , tan ⁻¹ x и т. д. были опубликованы им в лондонском журнале Philosophical Transactions за 1813 год. Он говорит (стр. 10): «Эти обозначения потому . ^-1 e не следует понимать как 1/cos.e  , а то, что обычно пишут так, как arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^m A вместо (cos. A ) ^m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d ² x , Δ ³ x , Σ ² x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , мы должны писать sin. ² раза за грех. грех. х , лог. ³ х для журнала. бревно. бревно. Икс . Точно так же, как мы пишем d ^{− n} V=∫ ⁿ V, мы можем аналогично написать sin. ⁻¹ x = дуга (sin.= x ), лог. ⁻¹ x .=c ^​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sin. ⁻¹ x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурман], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и при этом он, по-видимому, вообще не осведомлен об обратном исчислении функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этого обозначения и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые оно открывает на природу аналитических операций. кажется, разрешают его универсальное принятие». ^[a] [...] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции. - [...] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «cos ^[−1] x» , «log ^[−1] x ». ^[b] [...] § 537. Степени тригонометрических функций. — Три основных обозначения были используется для обозначения, скажем, квадрата sin x , а именно (sin x ) ² , sin x ² , sin ² x . В настоящее время преобладающим обозначением является sin ² x , хотя первое вряд ли будет неправильно истолковано. В случае греха ² x напрашиваются две интерпретации: во-первых, sin x · sin x , во-вторых, ^[c] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log ² x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются в анализе. [...] Обозначение sin ⁿ x для (sin x ) ⁿ широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. [...](xviii+367+1 страница, включая 1 страницу дополнений) (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
7. Гельмут Зибер и Леопольд Хубер: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Эрнст Клетт Верлаг.
8. Томас 1972, стр. 304–309.
9. Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза ​​М. (2000) [1961]. «21.2.-4. Обратные тригонометрические функции». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc., с. 811. ИСБН 978-0-486-41147-7.
10. Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . дои : 10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
11. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Статья 14: Обратные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Плоская тригонометрия . Нью-Йорк: Генри Холт и компания . стр. 15–16 . Проверено 12 августа 2017 г. α = arcsin  m. Это обозначение повсеместно используется в Европе и быстро завоевывает популярность в этой стране. Менее желательный символ α = sin ^-1 m до сих пор встречается в английских и американских текстах. Обозначение α = inv sin m , возможно, еще лучше ввиду его общей применимости. [...] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций . Его часто читают как «арксинус м » или «антисинус м » , поскольку говорят, что две взаимно обратные функции являются антифункцией другой. 
12. Лэй 2006, с. 69, пример 7.24
13. Вольф 1998, с. 208, Теорема 7.2.
14. Смит, Эгген и Сент-Андре, 2006, стр. 141 Теорема 3.3(а)
15. Лэй 2006, с. 71, Теорема 7.26.
16. Бриггс и Кокран, 2011, стр. 28–29.
17. Лэй 2006, с. 246, Теорема 26.10.
18. «Обратные функции». www.mathsisfun.com . Проверено 8 сентября 2020 г.
19. Бриггс и Кокран, 2011, стр. 39–42.
20. Черт возьми; Фут. Абстрактная алгебра .
21. Мак Лейн, Сондерс. Категории для работающего математика .
22. Френкель (1954). «Абстрактная теория множеств». Природа . 173 (4412): 967. Бибкод : 1954Natur.173..967C. дои : 10.1038/173967a0 . S2CID  7735523.

Библиография

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011). Исчисление / Ранние трансцендентальные измерения с одной переменной . Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-66414-3.
• Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Математика . ISBN 978-1-58488-449-1.
• Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики . PWS-Кент. ISBN 0-87150-164-3.
• Лэй, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . ISBN 978-0-13-148101-5.
• Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс/Коул . ISBN 978-0-534-39900-9.
• Томас младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитическая геометрия (альтернативное издание). Аддисон-Уэсли .
• Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Инструментарий математика . ISBN WH Freeman and Co.  978-0-7167-3050-7.

дальнейшее чтение

• Амазиго, Джон К.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; якобианы; обратные функции». Расширенное исчисление и его приложения в инженерных и физических науках . Нью-Йорк: Уайли. стр. 103–120. ISBN 0-471-04934-4.
• Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
• Спивак, Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-89-6.
• Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5-е изд.). Брукс Коул . ISBN 978-0-534-39339-7.

Внешние ссылки

• «Обратная функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]